Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

[Pipers]

W cylindrycznym otwartym zbiorniku o promieniu \(\displaystyle{ R=0,5\:m}\) wypełnionym początkowo wodą do wysokości \(\displaystyle{ H = 1\:m}\) względem dna zbiornika zrobiono w dnie otwór o promieniu \(\displaystyle{ r=0,02\:m}\) . Woda wypływa przez ten otwór zgodnie z prawem Torricellego:

\(\displaystyle{ \frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ S_{r}}\) – pole powierzchni przekroju otworu w dnie,
\(\displaystyle{ S_{R}}\) – pole powierzchni przekroju zbiornika,
\(\displaystyle{ h}\) – wysokość wody w zbiorniku w czasie \(\displaystyle{ t\:[s]}\) .

Po jakim czasie zbiornik będzie pusty?

Na początku trzeba policzyć pola powierzchni, a następnie rozwiązać zadanie przy użyciu równania różniczkowego.

Pole powierzchni przekroju zbiornika to:
\(\displaystyle{ S_{R} =dH=1 \cdot 1 = 1 m^{2}}\)

Pole powierzchni przekroju otworu w dnie to:
\(\displaystyle{ S_{r}= \pi r^{2}=0,001256\:m^{2}}\) (edytowane, było źle wcześniej)

[a4karo]

\(\displaystyle{ S_R}\) chyba żle policzyłeś (co ma wysokość do pola przekroju poprzecznego walca?)

Z czym masz problem?

Pole otworu w dnie też źle.

[Pipers]

Pole przekroju walca to \(\displaystyle{ P= 2 \cdot r \cdot h}\) , zgadza się? Możesz mi rozjaśnić? Studiowałem Elektrotechnikę i równań różniczkowych używaliśmy jedynie do rozwiązywania obwodów elektrycznych. W dużo innej postaci... można rzec, łopatologicznie.

[a4karo]

Ale tam chodzi o przekrój poziom.

Dostaniesz równanie o rozdzielonych zmiennych, które się całkuje standardowymi metodami.
Opis znajdziesz w każdym podręczniku, a i na tym forum znajdziesz przykłady.

[Pipers]

Dobra... Napisałem wzory na przekrój pionowy – nie wysypiam się ostatnio.
Proszę rozwiń moją myśl:

\(\displaystyle{ \frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}}\)

\(\displaystyle{ dh=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh} \cdot dt}\)

\(\displaystyle{ \frac{dh}{\sqrt{2gh} } =- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot dt}\)

[a4karo]

No i scałkuj.

[Pipers]

Myślę, że trzeba iść w tym kierunku, bardzo proszę o pomoc z rozwiązaniem tych całek.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{ \frac{dh}{2gh} } }= - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \int_{}^{} dt}\)

Jeżeli chodzi o prawą stronę to wyrzuciłem według mnie stałą przed całkę wraz ze znakiem i powinienem skorzystać następnie z wzoru.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} dx = x + C}\)

Czyli moje równanie byłoby następujące :

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{ \frac{dh}{2gh} } }= - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)}\)

[a4karo]

A skąd masz taką smiesznosc pod pierwiastkiem?

[Pipers]

Znowu się nie wysypiam... już poprawiam

-- 2 sty 2018, o 10:15 --

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{2gh} } = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)}\)

\(\displaystyle{ ln\left| \sqrt{2gh}\right| = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)}\)

\(\displaystyle{ ln\left| \sqrt{2gh}\right| = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{ln\left| \sqrt{2gh}\right|}{-\frac{ S_{r} }{ S_{R} }}}\)

Czy to jest nasz czas \(\displaystyle{ t}\) ?

[a4karo]

To nie jest tak, że całka z jeden przez cokolwiek to logarytm tego cokolwiek
Zadaj sobie trochę trudu i poszperaj w żródłąch

[Pipers]

To nie jest tak, że całka z jeden przez cokolwiek to logarytm tego cokolwiek
Zadaj sobie trochę trudu i poszperaj w żródłąch

Zadałem sobię trochę trudu, ale dobry w całkach nie jestem, i nie jest to też obiekt mojej pracy zawodowej mimo, że często spotykam się choćby z całką Joule'a
Będziemy rozwiązywać tę całkę przez podstawienie ( robiłem swojego czasu nawet całki potrójne, pozwólcie koledze wrócić do wprawy w metodologii )

\(\displaystyle{ t = \sqrt{2gh}}\)

liczę z tego pochodną... zgadza się ?


tylko, że g= const , mogę to zapisać już jako \(\displaystyle{ t = \sqrt{19,6h}}\)

[NogaWeza]

Jasne, możesz sobie wstawić dane liczbowe.

Można to policzyć przez podstawienie, ale nie ma takiej potrzeby. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\dd h}{ \sqrt{2gh} } = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int \frac{\dd h}{\sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int h^{- \frac{1}{2}} \dd h}\), wystarczy teraz przypomnieć sobie podstawowy wzór na \(\displaystyle{ \int x^a \dd x}\) i mamy rozwiązanie.

[Pipers]

NogaWeza, propsy za nick, proszę o sprawdzenie wyniku:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{ \sqrt{2gh} } \cdot ( \frac{ h^{ \frac{1}{2} } }{0,5}) }{ -\frac{S _{r}}{S _{R}} } = t}\)


i to w kalkulator ? pod \(\displaystyle{ h}\) podstawiam 1, pod \(\displaystyle{ S _{R} = 0,785}\)

pod \(\displaystyle{ S _{r} = 0,001256}\)

CZAS NIE MOŻE WYJŚĆ UJEMNY......... TAK MI SIĘ WYDAJE !

a4karo, Mógłbyś potwierdzić rozwiązanie ? Wydaję się w porządku.

-- 3 sty 2018, o 09:38 --