Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 28 gru 2017, o 14:06

W cylindrycznym otwartym zbiorniku o promieniu \(R=0,5\:m\) wypełnionym początkowo wodą do wysokości \(H = 1\:m\) względem dna zbiornika zrobiono w dnie otwór o promieniu \(r=0,02\:m\) . Woda wypływa przez ten otwór zgodnie z prawem Torricellego:

\(\frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}\)

gdzie:
\(S_{r}\) – pole powierzchni przekroju otworu w dnie,
\(S_{R}\) – pole powierzchni przekroju zbiornika,
\(h\) – wysokość wody w zbiorniku w czasie \(t\:[s]\) .

Po jakim czasie zbiornik będzie pusty?

Na początku trzeba policzyć pola powierzchni, a następnie rozwiązać zadanie przy użyciu równania różniczkowego.

Pole powierzchni przekroju zbiornika to:
\(S_{R} =dH=1 \cdot 1 = 1 m^{2}\)

Pole powierzchni przekroju otworu w dnie to:
\(S_{r}= \pi r^{2}=0,001256\:m^{2}\) (edytowane, było źle wcześniej)
Ostatnio zmieniony 30 gru 2017, o 04:01 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Błędy indeksowania

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: a4karo » 28 gru 2017, o 14:14

\(S_R\) chyba żle policzyłeś (co ma wysokość do pola przekroju poprzecznego walca?)

Z czym masz problem?

Pole otworu w dnie też źle.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 28 gru 2017, o 14:31

Pole przekroju walca to \(P= 2 \cdot r \cdot h\) , zgadza się? Możesz mi rozjaśnić? Studiowałem Elektrotechnikę i równań różniczkowych używaliśmy jedynie do rozwiązywania obwodów elektrycznych. W dużo innej postaci... można rzec, łopatologicznie.
Ostatnio zmieniony 30 gru 2017, o 04:04 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: a4karo » 28 gru 2017, o 15:09

Ale tam chodzi o przekrój poziom.

Dostaniesz równanie o rozdzielonych zmiennych, które się całkuje standardowymi metodami.
Opis znajdziesz w każdym podręczniku, a i na tym forum znajdziesz przykłady.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 29 gru 2017, o 11:02

Dobra... Napisałem wzory na przekrój pionowy – nie wysypiam się ostatnio.
Proszę rozwiń moją myśl:

\(\frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}\)

\(dh=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh} \cdot dt\)

\(\frac{dh}{\sqrt{2gh} } =- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot dt\)
Ostatnio zmieniony 30 gru 2017, o 04:06 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: a4karo » 29 gru 2017, o 11:09

No i scałkuj.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 07:48

Myślę, że trzeba iść w tym kierunku, bardzo proszę o pomoc z rozwiązaniem tych całek.

\(\int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{ \frac{dh}{2gh} } }= - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \int_{}^{} dt\)

Jeżeli chodzi o prawą stronę to wyrzuciłem według mnie stałą przed całkę wraz ze znakiem i powinienem skorzystać następnie z wzoru.

\(\int_{}^{} dx = x + C\)

Czyli moje równanie byłoby następujące :

\(\int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{ \frac{dh}{2gh} } }= - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: a4karo » 2 sty 2018, o 09:03

A skąd masz taką smiesznosc pod pierwiastkiem?

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 09:09

Znowu się nie wysypiam... już poprawiam

-- 2 sty 2018, o 10:15 --

\(\int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{2gh} } = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)\)

\(ln\left| \sqrt{2gh}\right| = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)\)

\(ln\left| \sqrt{2gh}\right| = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C)\)

\(t = \frac{ln\left| \sqrt{2gh}\right|}{-\frac{ S_{r} }{ S_{R} }}\)

Czy to jest nasz czas \(t\) ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: a4karo » 2 sty 2018, o 09:48

To nie jest tak, że całka z jeden przez cokolwiek to logarytm tego cokolwiek
Zadaj sobie trochę trudu i poszperaj w żródłąch

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 11:40

[quote="a4karo"]To nie jest tak, że całka z jeden przez cokolwiek to logarytm tego cokolwiek
Zadaj sobie trochę trudu i poszperaj w żródłąch[/quote]

Zadałem sobię trochę trudu, ale dobry w całkach nie jestem, i nie jest to też obiekt mojej pracy zawodowej mimo, że często spotykam się choćby z całką Joule'a :)
Będziemy rozwiązywać tę całkę przez podstawienie ( robiłem swojego czasu nawet całki potrójne, pozwólcie koledze wrócić do wprawy w metodologii )

\(t = \sqrt{2gh}\)

liczę z tego pochodną... zgadza się ?


tylko, że g= const , mogę to zapisać już jako \(t = \sqrt{19,6h}\)

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: NogaWeza » 2 sty 2018, o 12:58

Jasne, możesz sobie wstawić dane liczbowe.

Można to policzyć przez podstawienie, ale nie ma takiej potrzeby. Zauważmy, że \(\int_{}^{} \frac{\dd h}{ \sqrt{2gh} } = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int \frac{\dd h}{\sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int h^{- \frac{1}{2}} \dd h\), wystarczy teraz przypomnieć sobie podstawowy wzór na \(\int x^a \dd x\) i mamy rozwiązanie.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie czasu opróżnienia się zbiornika z wodą.

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 13:34

NogaWeza, propsy za nick, proszę o sprawdzenie wyniku:

\(\frac{ \frac{1}{ \sqrt{2gh} } \cdot ( \frac{ h^{ \frac{1}{2} } }{0,5}) }{ -\frac{S _{r}}{S _{R}} } = t\)


i to w kalkulator ? pod \(h\) podstawiam 1, pod \(S _{R} = 0,785\)

pod \(S _{r} = 0,001256\)

CZAS NIE MOŻE WYJŚĆ UJEMNY......... TAK MI SIĘ WYDAJE !

a4karo, Mógłbyś potwierdzić rozwiązanie ? Wydaję się w porządku.

-- 3 sty 2018, o 09:38 --

ODPOWIEDZ