Znajdź ekstremale funkcjonału:
\(\displaystyle{ F(u)= \int_{-4}^{4} \sqrt{u(1+u'^2)}\:dx \\
u(-4)=5 \\
u(4)=5}\)
Ekstremala funkcjonału
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Ekstremala funkcjonału
Trzeba rozwiązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial L}{\partial u'} \right)- \frac{\partial L}{\partial u}=0}\)
dla funkcji:
\(\displaystyle{ L(u,u',x)= \sqrt{u(1+u'^2)}}\)
Ale, że L bezpośrednio nie zależy od: \(\displaystyle{ x}\) , to można napisać to równanie w wersji uproszczonej, a mianowicie:
\(\displaystyle{ u' \frac{\partial L}{\partial u'}-L=C}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial L}{ \partial u'}= \frac{uu'}{ \sqrt{u+uu'^2} }}\)
i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{uu'^2}{\sqrt{u+uu'^2}}- \sqrt{u+uu'^2}=C}\)
Jak poskracasz, otrzymasz:
\(\displaystyle{ C+Cu'^2=u}\)
a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:
\(\displaystyle{ \sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx}\)
Dalej sobie poradzisz...
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial L}{\partial u'} \right)- \frac{\partial L}{\partial u}=0}\)
dla funkcji:
\(\displaystyle{ L(u,u',x)= \sqrt{u(1+u'^2)}}\)
Ale, że L bezpośrednio nie zależy od: \(\displaystyle{ x}\) , to można napisać to równanie w wersji uproszczonej, a mianowicie:
\(\displaystyle{ u' \frac{\partial L}{\partial u'}-L=C}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial L}{ \partial u'}= \frac{uu'}{ \sqrt{u+uu'^2} }}\)
i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{uu'^2}{\sqrt{u+uu'^2}}- \sqrt{u+uu'^2}=C}\)
Jak poskracasz, otrzymasz:
\(\displaystyle{ C+Cu'^2=u}\)
a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:
\(\displaystyle{ \sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx}\)
Dalej sobie poradzisz...
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 14 razy
Ekstremala funkcjonału
Właśnie z tym mam problem... Proszę o przedstawienie dalszej części obliczeń.arek1357 pisze: a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:
\(\displaystyle{ \sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx}\)
Dalej sobie poradzisz...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Ekstremala funkcjonału
\(\displaystyle{ \sqrt{C} \int_{}^{} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }= \int_{}^{} dx}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{C} \sqrt{u-C}=x+C_{1}}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ u=C+ \frac{(x+C_{1})^2}{4C}}\)
Z warunków początkowych wyliczysz:
\(\displaystyle{ C, C_{1}}\) .
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{C} \sqrt{u-C}=x+C_{1}}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ u=C+ \frac{(x+C_{1})^2}{4C}}\)
Z warunków początkowych wyliczysz:
\(\displaystyle{ C, C_{1}}\) .