Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Poszukuję wsparcia w rozwiązaniu tej metody metodą Eulera:
\(\displaystyle{ x’ = \frac{x}{t}– x^2\\
x(1)=1\\
1 \le t \le 2}\)
\(\displaystyle{ x’ = \frac{x}{t}– x^2\\
x(1)=1\\
1 \le t \le 2}\)
Ostatnio zmieniony 21 gru 2017, o 21:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach[latex] [/latex] . Nowa linia to \\.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Eulera#Podstawowa_metoda_Eulera
Najważniejszy wzór będzie u Ciebie wyglądał tak:
- \(\displaystyle{ x(t_{n+1})=x(t_n)+f\,'\left(x(t_n),t_n)\right)\cdot\Delta t}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Próbuje rozwiązać to zdanie i mam problem:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} -x^2}\)
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = -x^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = 0}\)
wyliczyłem:
\(\displaystyle{ x = Ct}\)
uzmienniłem stałą:
\(\displaystyle{ x = C(t)t}\)
i potem liczę (podstawiając do 1 równania) i dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \frac{dC\left( t\right) }{dt} \cdot t + C\left( t\right) - C\left( t\right) = (???)}\)
Co powinno być w miejscu \(\displaystyle{ (???)}\) ?
bo gdy w miejsce \(\displaystyle{ (???)}\) wstawię:
\(\displaystyle{ x^2 = (C\left( t\right)t)^2}\)
to wychodzi mi równanie:
\(\displaystyle{ \frac{dC\left( t\right) }{dt} =- C^2\left( t\right)t}\)
i nie bardzo wiem jak to obliczyć :/
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} -x^2}\)
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = -x^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = 0}\)
wyliczyłem:
\(\displaystyle{ x = Ct}\)
uzmienniłem stałą:
\(\displaystyle{ x = C(t)t}\)
i potem liczę (podstawiając do 1 równania) i dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \frac{dC\left( t\right) }{dt} \cdot t + C\left( t\right) - C\left( t\right) = (???)}\)
Co powinno być w miejscu \(\displaystyle{ (???)}\) ?
bo gdy w miejsce \(\displaystyle{ (???)}\) wstawię:
\(\displaystyle{ x^2 = (C\left( t\right)t)^2}\)
to wychodzi mi równanie:
\(\displaystyle{ \frac{dC\left( t\right) }{dt} =- C^2\left( t\right)t}\)
i nie bardzo wiem jak to obliczyć :/
Ostatnio zmieniony 21 gru 2017, o 22:45 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(\displaystyle{ x^2}\) jest to równanie nieliniowe.
Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:
, czyli sporządzić tabelkę:
Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:
- \(\displaystyle{ x(t)=\frac{2t}{C+t^2}}\)
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Eulera#Podstawowa_metoda_Eulera
- \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|r|}
\hline
t&x(t) \\
\hline
1,0&1,000000 \\
1,2&1,000000 \\
1,4&0,966667 \\
1,6&0,917873 \\
1,8&0,864109 \\
2,0&0,810784 \\ \hline
\end{tabular}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Tak tak, tylko by przejść do tego punktu powinienem mieć rozwiązanie dokładne. Zwłaszcza, że poza metoda Eulera muszę rozwiązać to m.in metoda Taylora.SlotaWoj pisze:Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(\displaystyle{ x^2}\) jest to równanie nieliniowe.
Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:
Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w
- \(\displaystyle{ x(t)=\frac{2t}{C+t^2}}\)
, czyli sporządzić tabelkę:Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Eulera#Podstawowa_metoda_Eulera
- \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|r|}
\hline
t&x(t) \\
\hline
1,0&1,000000 \\
1,2&1,000000 \\
1,4&0,966667 \\
1,6&0,917873 \\
1,8&0,864109 \\
2,0&0,810784 \\ \hline
\end{tabular}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Spójrzmy:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} =-x^2}\)
Ja bym to robił tak:
Połóżmy \(\displaystyle{ x=tu}\) , a otrzymamy:
\(\displaystyle{ u+ t\frac{du}{dt} -u=-(tu)^2\\-\frac{1}{u^2}\frac{\,\dd u}{\,\dd t}=t\\ \frac{1}{u}=\frac{t^2}{2}+C\\u(t)= \frac{1}{\frac{t^2}{2}+C}\\ x(t)=\frac{2t}{t^2+C'}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C'}\) to stała.
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} =-x^2}\)
Ja bym to robił tak:
Połóżmy \(\displaystyle{ x=tu}\) , a otrzymamy:
\(\displaystyle{ u+ t\frac{du}{dt} -u=-(tu)^2\\-\frac{1}{u^2}\frac{\,\dd u}{\,\dd t}=t\\ \frac{1}{u}=\frac{t^2}{2}+C\\u(t)= \frac{1}{\frac{t^2}{2}+C}\\ x(t)=\frac{2t}{t^2+C'}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C'}\) to stała.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna
Premislav, ja tutaj widziałem równanie Bernoulliego, a nie jednorodne, ale jakoś przypadkowo podstawienie które podałeś zadziałało.
192255.htm#p706863
Jak ktoś lubi czynnik całkujący, to istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych.
254966.htm#p960875
\(\displaystyle{ frac{dx}{dt}-frac{x}{t} = -x^2\
muleft( t,x
ight)=exp{left( left( 1-2
ight)int{frac{-1}{t}}
ight) } x^{-2}\
muleft( t,x
ight)=e^{ln{left| t
ight| }} cdot frac{1}{x^2}\
muleft( t,x
ight)=frac{t}{x^2}\}\)
Można je sprowadzić do liniowego podstawieniem:
\(\displaystyle{ frac{dx}{dt} = frac{x}{t} -x^2\
-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}=-frac{1}{t} cdot frac{1}{x} +1\
u=frac{1}{x}\
frac{du}{dt}=-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}\
frac{du}{dt}=-frac{u}{t}+1\
frac{du}{dt}+frac{u}{t}=1\}\)
Teraz równanie jest zarówno liniowe jak i jednorodne.
Tak, ale jest Bernoulliego, a widziałem na tym forum, jak jeden rozwiązywał równanie Bernoulliego uzmiennieniem stałej.SlotaWoj pisze:Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(\displaystyle{ x^2}\) jest to równanie nieliniowe.
192255.htm#p706863
Jak ktoś lubi czynnik całkujący, to istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych.
254966.htm#p960875
\(\displaystyle{ frac{dx}{dt}-frac{x}{t} = -x^2\
muleft( t,x
ight)=exp{left( left( 1-2
ight)int{frac{-1}{t}}
ight) } x^{-2}\
muleft( t,x
ight)=e^{ln{left| t
ight| }} cdot frac{1}{x^2}\
muleft( t,x
ight)=frac{t}{x^2}\}\)
Można je sprowadzić do liniowego podstawieniem:
\(\displaystyle{ frac{dx}{dt} = frac{x}{t} -x^2\
-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}=-frac{1}{t} cdot frac{1}{x} +1\
u=frac{1}{x}\
frac{du}{dt}=-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}\
frac{du}{dt}=-frac{u}{t}+1\
frac{du}{dt}+frac{u}{t}=1\}\)
Teraz równanie jest zarówno liniowe jak i jednorodne.