Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: fluffiq » 21 gru 2017, o 01:40

Poszukuję wsparcia w rozwiązaniu tej metody metodą Eulera:

\(x’ = \frac{x}{t}– x^2\\ x(1)=1\\ 1 \le t \le 2\)
Ostatnio zmieniony 21 gru 2017, o 21:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: SlotaWoj » 21 gru 2017, o 03:56

Podstawowa metoda Eulera.

Najważniejszy wzór będzie u Ciebie wyglądał tak:
  • \(x(t_{n+1})=x(t_n)+f\,'\left(x(t_n),t_n)\right)\cdot\Delta t\)
Trzeba przyjąć jakieś \(\Delta t\) (w Wikipedii \(h\) ). Dla \(\Delta t=0,2\) i \(1< t\le2\) będziesz miał \(5\) iteracji.

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: fluffiq » 21 gru 2017, o 18:53

Próbuje rozwiązać to zdanie i mam problem:

\(\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} -x^2\)

Zrobiłem tak:

\(\frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = -x^2\)
\(\frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = 0\)

wyliczyłem:

\(x = Ct\)

uzmienniłem stałą:

\(x = C(t)t\)

i potem liczę (podstawiając do 1 równania) i dochodzę do momentu:

\(\frac{dC\left( t\right) }{dt} \cdot t + C\left( t\right) - C\left( t\right) = (???)\)

Co powinno być w miejscu \((???)\) ?

bo gdy w miejsce \((???)\) wstawię:

\(x^2 = (C\left( t\right)t)^2\)

to wychodzi mi równanie:

\(\frac{dC\left( t\right) }{dt} =- C^2\left( t\right)t\)

i nie bardzo wiem jak to obliczyć :/
Ostatnio zmieniony 21 gru 2017, o 22:45 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: SlotaWoj » 21 gru 2017, o 19:58

Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(x^2\) jest to równanie nieliniowe.

Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:
  • \(x(t)=\frac{2t}{C+t^2}\)
Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w podanym linku, czyli sporządzić tabelkę:
  • \(\begin{tabular}{|r|r|} \hline t&x(t) \\ \hline 1,0&1,000000 \\ 1,2&1,000000 \\ 1,4&0,966667 \\ 1,6&0,917873 \\ 1,8&0,864109 \\ 2,0&0,810784 \\ \hline \end{tabular}\)

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: fluffiq » 21 gru 2017, o 20:02

SlotaWoj pisze:Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(x^2\) jest to równanie nieliniowe.

Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:
  • \(x(t)=\frac{2t}{C+t^2}\)
Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w podanym linku, czyli sporządzić tabelkę:
  • \(\begin{tabular}{|r|r|} \hline t&x(t) \\ \hline 1,0&1,000000 \\ 1,2&1,000000 \\ 1,4&0,966667 \\ 1,6&0,917873 \\ 1,8&0,864109 \\ 2,0&0,810784 \\ \hline \end{tabular}\)
Tak tak, tylko by przejść do tego punktu powinienem mieć rozwiązanie dokładne. Zwłaszcza, że poza metoda Eulera muszę rozwiązać to m.in metoda Taylora.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: Premislav » 21 gru 2017, o 20:13

Spójrzmy:

\(\frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} =-x^2\)

Ja bym to robił tak:

Połóżmy \(x=tu\) , a otrzymamy:

\(u+ t\frac{du}{dt} -u=-(tu)^2\\-\frac{1}{u^2}\frac{\,\dd u}{\,\dd t}=t\\ \frac{1}{u}=\frac{t^2}{2}+C\\u(t)= \frac{1}{\frac{t^2}{2}+C}\\ x(t)=\frac{2t}{t^2+C'}\)

gdzie \(C'\) to stała.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

Post autor: mariuszm » 21 gru 2017, o 20:38

Premislav, ja tutaj widziałem równanie Bernoulliego, a nie jednorodne, ale jakoś przypadkowo podstawienie które podałeś zadziałało.
SlotaWoj pisze:Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(x^2\) jest to równanie nieliniowe.
Tak, ale jest Bernoulliego, a widziałem na tym forum, jak jeden rozwiązywał równanie Bernoulliego uzmiennieniem stałej.

192255.htm#p706863

Jak ktoś lubi czynnik całkujący, to istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych.

254966.htm#p960875

\(frac{dx}{dt}-frac{x}{t} = -x^2\ muleft( t,x ight)=exp{left( left( 1-2 ight)int{frac{-1}{t}} ight) } x^{-2}\ muleft( t,x ight)=e^{ln{left| t ight| }} cdot frac{1}{x^2}\ muleft( t,x ight)=frac{t}{x^2}\\)

Można je sprowadzić do liniowego podstawieniem:

\(frac{dx}{dt} = frac{x}{t} -x^2\ -frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}=-frac{1}{t} cdot frac{1}{x} +1\ u=frac{1}{x}\ frac{du}{dt}=-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}\ frac{du}{dt}=-frac{u}{t}+1\ frac{du}{dt}+frac{u}{t}=1\\)

Teraz równanie jest zarówno liniowe jak i jednorodne.

ODPOWIEDZ