Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
cycleteam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: cycleteam » 25 wrz 2007, o 18:57

Witam

Mam problem z zadaniem na jutro a mianowicie |x-1|+|x-2|=|x| - jak takie równanie rozwiązać?

Proszę o szybką pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: mostostalek » 25 wrz 2007, o 19:05

rozbijasz na cztery przypadki:
\(\displaystyle{ 1. xin(-infty;0)\
2. xin[0;1)\
3. xin[1;2)\
4. xin[2;infty)}\)


później dla kolejnych przypadków jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie to pomijasz wartość bezwzględną, jeśli ujemne to pomijasz zarazem zmieniając znak wyrażenia..

potem pozostaje już tylko rozwiązać proste równanie i sprawdzić czy wynik zawiera się w przedziale który rozpatrujemy

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: Plant » 25 wrz 2007, o 19:07

Rozwiązujesz po kolei dla:
\(\displaystyle{ x\in (-\infty ; 0) \\ x\in \langle 0 ; 1) \\ x\in \langle 1 ; 2) \\ x \langle 2 ; +\infty)}\)

cycleteam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: cycleteam » 25 wrz 2007, o 19:15

heh a jak to rozwiązać dla tych przypadków?

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: Plant » 25 wrz 2007, o 19:34

mostostalek pisze:później dla kolejnych przypadków jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie to pomijasz wartość bezwzględną, jeśli ujemne to pomijasz zarazem zmieniając znak wyrażenia..

potem pozostaje już tylko rozwiązać proste równanie i sprawdzić czy wynik zawiera się w przedziale który rozpatrujemy
W pierwszym przypadku wszystkie wnętrza wartości bezwzględnej będą ujemne, w drugim wszystkie bez |x|, w trzecim tylko |x-2|, w czwartym wszystkie dodatnie.

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: mostostalek » 25 wrz 2007, o 19:37

przypadek 1
\(\displaystyle{ x\in(-\infty;0)}\)

\(\displaystyle{ -(x-1)-(x-2)=-x\iff -2x+3=-x\iff x=3}\)
odpada ponieważ nie należy do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty;0)}\)

przypadek 2
\(\displaystyle{ xin[0;1)}\)

\(\displaystyle{ -(x-1)-(x-2)=x\iff -2x+3=x\iff 3x=3 \iff x=1}\)
również odpada..

przypadek 3.
\(\displaystyle{ xin[1;2)}\)

\(\displaystyle{ (x-1)-(x-2)=x\iff x=1}\)
ok

przypadek 4.
\(\displaystyle{ xin[2;infty)}\)

\(\displaystyle{ (x-1)+(x-2)=x\iff 2x-3=x\iff x=3}\)
ok

ostatecznie x=1 bądź x=3

cycleteam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: cycleteam » 25 wrz 2007, o 19:48

skad sie wzielo -2x?

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: mostostalek » 25 wrz 2007, o 19:56

cycleteam pisze:skad sie wzielo -2x?
rozumiem, że masz na myśli przypadek 2..

\(\displaystyle{ -(x-1)-(x-2)=x}\)
\(\displaystyle{ -x+1-x+2=x}\)
\(\displaystyle{ -2x+3=x}\)

cycleteam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: cycleteam » 25 wrz 2007, o 20:23

a no tak wyrazy podobne ) Nie iwem tylko czemu w przypadku 2 zostały dodane minusy skoro ani 0 ani 1 nie jest ujemne..

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Jak rozwiązać równanie |x-1|+|x-2|=|x|

Post autor: mostostalek » 25 wrz 2007, o 20:38

nie bardzo rozumiem co masz na myśli.. zauważ, że w tym przedziale czyli

a już rozumiem o co Ci chodzi..
nie patrzysz na to czy x jest dodatni czy ujemny.. patrzysz na wyrażenie pod wartością bezwzględną.. a biorąc dowolne x z przedziału

ODPOWIEDZ