Metoda przewidywań

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec

Metoda przewidywań

Post autor: tangerine11 » 16 gru 2017, o 14:05

Stosując metodę przewidywań znaleźć całkę ogólną równania:

\(x''+x=2\sin t - 2e^{-t}\)

No to rozwiązuję równanie jednorodne i mam:
\(x=C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\)

Problem jest później. Kiedy próbuję podstawić:
\(x=2A\sin t+2B\cos t-2Ce^{-t}\)
to w późniejszych rachunkach mi się skracają sinusy i cosinusy, więc chyba coś jest źle.
Czy ktoś mógłby pomóc, jak się w ogóle zabrać do postawienia?
Ostatnio zmieniony 17 gru 2017, o 02:47 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Metoda przewidywań

Post autor: szw1710 » 16 gru 2017, o 14:08

To nie jest dobre przewidywanie ze względu na tzw. stałą kontrolną. Właściwe jest takie: \(x=At\cos t+Bt\sin t+Ce^{-t}.\)

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec

Metoda przewidywań

Post autor: tangerine11 » 16 gru 2017, o 14:24

Hmmm. Okej. Czyli zawsze kiedy przed funkcją trygonometryczną jest stała, to dodajemy w podstawieniu zmienną.

Po przeliczeniu wyszło mi:
\(x=-t\cos t-e^{-t}\)

Czyli ostatecznie całka ogólna:
\(x= C_{1}\sin t+C_{2}\cos t-t\cos t-e^{-t}\)

Czy dobrze?
Ostatnio zmieniony 17 gru 2017, o 02:48 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Metoda przewidywań

Post autor: szw1710 » 16 gru 2017, o 15:10

Pozwolisz że nie będę przeliczał. Zmienną \(t\) dodałem z innego powodu, tzw. stałej kontrolnej. Nie robi się tego zawsze, ale tylko w określonych okolicznościach, które tu miały miejsce. Tłumaczenie i kontekst Twojego zadania przerasta moje ramy czasowe.

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec

Metoda przewidywań

Post autor: tangerine11 » 16 gru 2017, o 15:57

W porządku. A w przypadku, gdy funkcja jest równa \(4e^{t}\cos t\) to podstawienie będzie:

\(Ae^{t}\cos t + Be^{t}\sin t\)

czy:
\(Ate^{t}\cos t + Bte^{t}\sin t\)

Tzn. czy jest to przypadek wymagający tej stałej czy nie?
Ostatnio zmieniony 17 gru 2017, o 02:50 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Metoda przewidywań

Post autor: szw1710 » 16 gru 2017, o 20:27

To pierwsze.

ODPOWIEDZ