Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Dharel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 29 sty 2017, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe

Post autor: Dharel » 14 gru 2017, o 20:15

Mam takie proste wyglądające równanie różniczkowe:

\(x'+tx= x^{2}\)

Wyglądało mi to na równanie Bernoulliego:

\(u=x ^{1-2}=x ^{-1} \\ u'(-1)t \cdot u=-1 \cdot 1 \\ u'-tu=-1\)

Mamy równanie liniowe, wiec najpierw rozwiązuje jednorodne:

\(u'-tu=0\)

\(\frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t }=tu\)

\(\int_{}^{} \frac{du}{u}= \int_{}^{} tdt\)

\(u=Ce ^{ \frac{ t^{2} }{2} }\)

\(u'=C'e ^{ \frac{ t^{2} }{2} }+Ce ^{ \frac{ t^{2} }{2} } \cdot t\)

Teraz wstawiam \(u\) i \(u'\) do \(u'-tu=-1\) i wychodzi mi:

\(C'e ^{ \frac{ t^{2} }{2} }=-1\)

I mam problem bo jak chce wyliczyć \(C\) , to muszę scałkować , po lewej stronie mam \(e ^{ \frac{ t^{2} }{2} }\) , a tego nie da się elementarnie rozwiązać. Pytanie, czy może popełniłem gdzieś błąd? Czy da się to jakoś inaczej rozwiązać?
Ostatnio zmieniony 14 gru 2017, o 21:56 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 15 gru 2017, o 09:12

Dharel pisze:czy może popełniłem gdzieś błąd?
Nie. Rozwiązywałeś prawidłowo.
Dharel pisze:Czy da się to jakoś inaczej rozwiązać?
Można inaczej, np:
\(\frac{x'}{x^2}+ \frac{t}{x}=1\\ \frac{x'}{x^2}(e^{ \frac{-t^2}{2} })+ \frac{t}{x}(e^{ \frac{-t^2}{2} })=e^{ \frac{-t^2}{2} }\\ (\frac{-e^{ \frac{-t^2}{2} }}{x}) '=e^{ \frac{-t^2}{2} }\\ \frac{-e^{ \frac{-t^2}{2} }}{x}= \int_{}^{} e^{ \frac{-t^2}{2} } \mbox{d}t\)
ale i tak trafia się na ten sam problem.

ODPOWIEDZ