Wykazać korzystając z nierówności Gronwalla

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec

Wykazać korzystając z nierówności Gronwalla

Post autor: tangerine11 » 13 gru 2017, o 23:50

Korzystając z nierówności Gronwalla pokazać, że rozwiązanie problemu:
\(\displaystyle{ x'+a(t)x=f(t),\ x(t_{0})=\lambda}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ f}\) są funkcjami ciągłymi, zależy w sposób ciągły od \(\displaystyle{ \lambda}\).

Właściwie dopiero poznaję tą nierówność i szczerze mówiąc średnio do mnie przemawia, tzn. widzę treść i rozumiem mniej więcej o co chodzi, ale nie umiem tego wykorzystać w zadaniach.

Widzę że mam równanie liniowe i w sumie tyle.
Ostatnio zmieniony 14 gru 2017, o 00:40 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Wykazać korzystając z nierówności Gronwalla

Post autor: janusz47 » 14 gru 2017, o 11:02

Znajdź rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ \phi(t)}\), wykorzystując czynnik całkujący.

Zapisz wartość bezwzględną tego rozwiązania \(\displaystyle{ |\phi(t)|.}\)

Zastosuj do funkcji \(\displaystyle{ |\phi(t)|}\) nierówność Gronwalla.

Z otrzymanej nierówności wyznacz \(\displaystyle{ |x(t)|.}\)

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec

Re: Wykazać korzystając z nierówności Gronwalla

Post autor: tangerine11 » 14 gru 2017, o 16:00

Czemu mam wykorzystywać czynnik całkujący do równania liniowego?

Czyli mam przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ dx + (a(t)x - f(t))dt = 0}\) ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14148
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Wykazać korzystając z nierówności Gronwalla

Post autor: Premislav » 14 gru 2017, o 16:06

Chodziło o to, żebyś pomnożyła stronami przez \(\displaystyle{ \exp \left(\int_{t_0}^{t} a(s) \,\dd s\right)}\) i dopatrzyła się po lewej pochodnej iloczynu (tak to przynajmniej zrozumiałem).

ODPOWIEDZ