Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mat06 » 13 gru 2017, o 15:47

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego:

\(\displaystyle{ x'=\frac{x+t}{xt} \\ x(1) = 2 \\ 1 \le t \le 2}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: janusz47 » 16 gru 2017, o 22:13

Podstawienie:

\(\displaystyle{ x\cdot t = u}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Re: Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mariuszm » 17 gru 2017, o 00:10

janusz47, wątpię czy to podstawienie coś da.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: janusz47 » 17 gru 2017, o 09:17

To równanie należy rozwiązać numerycznie.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Re: Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mariuszm » 17 gru 2017, o 12:45

Też o tym pomyślałem ponieważ

\(\displaystyle{ x'=\frac{x+t}{xt}\\ x'= \frac{1}{t}+ \frac{1}{x}\\ x=\frac{1}{u}\\ x'=-\frac{u'}{u^2}\\ -\frac{u'}{u^2}=\frac{1}{t}+u\\ u'=-u^3-\frac{1}{t} \cdot u^2\\ f_{3}\left( t\right)=-1\\ f_{2}\left( t\right)=-\frac{1}{t}\\}\)

Maple twierdzi że to równanie nie spełnia warunku sprowadzalności do
równania o rozdzielonych zmiennych ponieważ

\(\displaystyle{ \left( \frac{f_{3}}{f_{2}} \right)'=af_{2} \\ \left(\frac{-1}{-\frac{1}{t}}\right)'=-\frac{a}{t}\\ \left( t\right)'=-\frac{a}{t}\\ 1=-\frac{a}{t}\\}\)

Otrzymaliśmy sprzeczność zatem warunek na sprowadzenie równania do
równania o rozdzielonych zmiennych nie jest spełniony

Z drugiej jednak strony
Franciszek Leja pisze: Można dowieść że czynniki całkujące zawsze istnieją (i to jest ich nieskończenie wiele),
znalezienie jednak czynnika całkującego jest na ogół
zagadnieniem trudniejszym niż całkowanie równania

ODPOWIEDZ