Matematyka.pl

Witam , mam problem z zadaniem i proszę o pomoc

zadanie
Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=X^2}\).

Dbaj o język. Zad to ma koń, ma też człowiek z tyłu. Ty masz do zrobienia zadanie. Pisząc o tylnej części ciała obrażasz siebie i odpowiadających na Twoje pytanie.

Zrób to przez dystrybuantę. Znasz ją dla rozkładu \(\displaystyle{ X}\). Niech to będzie \(\displaystyle{ F_X}\). Więc \(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(X^2<t)=P(-\sqrt{t}<X<\sqrt{t})}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Policz to do końca. Co będzie dla \(\displaystyle{ t\le 0}\)?

szw1710 pisze:Zrób to przez dystrybuantę. Znasz ją dla rozkładu \(\displaystyle{ X}\). Niech to będzie \(\displaystyle{ F_X}\). Więc \(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(X^2<t)=P(-t<X<t)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Policz to do końca. Co będzie dla \(\displaystyle{ t\le 0}\)?

Próbowałam tak zrobić ale chyba źle mi wychodzi:

\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(X^2<t)=P( -\sqrt{t} <X<\sqrt{t})= \int_{-\sqrt{t}}^{\sqrt{t}}1dx=2 \sqrt{t}}\) dla \(\displaystyle{ 0<t<1}\) ;
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=0}\) dla \(\displaystyle{ t<0}\).
Ale zdaje mi się ze coś jest źle bo chyba nie powinno wyjść \(\displaystyle{ 2 \sqrt{t}}\) bo podstawiając np \(\displaystyle{ 1}\) wychodzi wtedy dystrybuanta równa \(\displaystyle{ 2}\) ..

Sprawdz, jak wyglada gestosc rozkladu jednostajnego

leg14 pisze:Sprawdz, jak wyglada gestosc rozkladu jednostajnego

gęstość rozkładu jednostajnego na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) jest postaci : \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{b-a}}\) dla \(\displaystyle{ x}\) należącego do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) , a zatem dla \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=1}\)... więc wydaje mi się że podstawiłam dobrze ... niestety nadal nie wiem czemu w takim razie wychodzi mi zła dystrybuanta

\(\displaystyle{ P(X^2 < t) = P(-\sqrt t < X < \sqrt t) = P( X < \sqrt t)\quad (t\in (0,1)),}\)

istotnie zmienna \(\displaystyle{ X}\) jest nieujemna p.n. Oznacza to, że szukane prawdopodobieństwo to

\(\displaystyle{ \int_0^{\sqrt t} {\rm d} x = \sqrt t}\).

Czy potrafisz podać gęstość \(\displaystyle{ X^2}\)?