Czynnik całkujący

[donquixote]

Mam takie równanie sprowadzalne do zupełnego za pomocą czynnika całkującego, ale nie wiem jak je rozwiązac. Pomożecie?

\(\displaystyle{ y=tx'-(x')^3}\)

[Mariusz M]

Mamy trzy zmienne ?

Gdybyśmy mieli równanie

\(\displaystyle{ x=tx'-\left( x'\right)^3}\)

to mielibyśmy równanie Lagrange-Clairault

Spróbuj rozwiązać równanie trzeciego stopnia aby otrzymać \(\displaystyle{ x'}\)

[donquixote]

tak, tam mamy x, nie y, pomyłka

[Mariusz M]

Takie równanie rozwiązuje się różniczkując stronami , wprowadzając parametr i w razie
potrzeby sprowadzając do równania liniowego

Jeśli koniecznie chcesz czynnik całkujący to rozwiąż równanie trzeciego stopnia
aby dostać równanie postaci

\(\displaystyle{ P\left( x,y\right)+Q\left( x,y\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0}\)

Z tej postaci łatwiej policzysz czynnik całkujący

[donquixote]

czy to jest dobrze? mogłby ktoś sprawdzic?

\(\displaystyle{ x=tx'- (x')^{3}}\)

\(\displaystyle{ x'=x'+tx" -3x"(x') ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 0= tx"- 3(x')^{2} x"}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow x''=0 \vee t-3(x')^{2}= 0}\)

\(\displaystyle{ x"=0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ t-3(x')^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ x'=c}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ 3(x')^{2}=t}\)

\(\displaystyle{ x= tc-c^{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x'^{2}= \frac{t}{3}}\)
\(\displaystyle{ x'= \frac{ \sqrt{t} }{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ x= ( \frac{ \sqrt{t} }{ \sqrt{3} } )^{3}}\)