Równanie o zmiennych rozdzielonych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
donquixote
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 6 wrz 2015, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie o zmiennych rozdzielonych

Post autor: donquixote » 7 gru 2017, o 20:43

Hej, pomoże mi ktoś z tym równaniem? Mam wyznaczyć rozwiązanie ogólne a jeśli to możliwe podać rozwiązanie w postaci jawnej.

\((2x+y-2)dx + (2y-x+1)dy =0\)
Ostatnio zmieniony 7 gru 2017, o 22:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Równanie o zmiennych rozdzielonych

Post autor: szw1710 » 7 gru 2017, o 23:16

Wprowadzenie nowych zmiennych \(2x+y-2=u\) oraz \(2y-x+1=v\) sprowadzi równanie do jednorodnego względem \(u,v\). To z kolei równanie sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.

W II tomie Krysickiego opisane jest sprowadzenie równania tego typu bezpośrednio do równania o zmiennych rozdzielonych.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Równanie o zmiennych rozdzielonych

Post autor: mariuszm » 15 kwie 2018, o 22:07

szw1710, skąd wziąłeś te zmienne ?

W skrypcie Szlęka, Łanowego i Przybylaka zaproponowane jest podstawienie

\(\begin{cases} x=u+ \alpha \\ y=v+ \beta \end{cases}\)

Po wstawieniu do równania okaże się że podstawienie \(y=\left( x-1\right)u\)
sprowadzi to równanie bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych

Zobaczmy co dostaniemy po zastosowaniu tego podstawienia

\(2x+y-2=u\) oraz \(2y-x+1=v\)

\(\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\ \begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\\)

\(\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\ \begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\ \begin{cases} x= \frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) \\ y=\frac{1}{5}\left( u+2v\right) \end{cases} \\ \left(\left( \frac{2}{5}\left( 2u-v+5\right)+\frac{1}{5}\left( u+2v\right)-2\right) \cdot \frac{2}{5}+\left( \frac{2}{5}\left( u+2v\right)-\frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) +1 \right) \frac{1}{5}\right) \mbox{d}u+\left(\left( \frac{2}{5}\left( 2u-v+5\right)+\frac{1}{5}\left( u+2v\right)-2\right) \cdot \frac{\left(-1 \right) }{5}+\left( \frac{2}{5}\left( u+2v\right)-\frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) +1 \right) \frac{2}{5}\right) \mbox{d}v=0\\ \frac{1}{25}\left( 8u-4v+20+2u+4v-20+2u+4v-2u+v-5+5\right) \mbox{d}u+\\ \frac{1}{25}\left( -4u+2v-10-u-2v+10+4u+8v-4u+2v-10+10\right) \mbox{d}v=0\\ \frac{1}{25}\left( 10u+5v\right) \mbox{d}u+\frac{1}{25}\left(-5u+10v \right) \mbox{d}v=0\\ \left( 2u+v\right) \mbox{d}u-\left( u-2v\right) \mbox{d}v=0\\ \left( 2u+v\right) \mbox{d}u=\left( u-2v\right) \mbox{d}v=0\\ \frac{ \mbox{d}v}{ \mbox{d}u} =\frac{2u+v}{u-2v}\\ v=uz\\ v'=z+uz'\\ z+uz'=\frac{2u+uz}{u-2uz}\\ uz'=\frac{2+z}{1-2z}-z\\ uz'=\frac{2+z-z+2z^2}{1-2z}\\ uz'=-2\frac{1+z^2}{2z-1}\\ \frac{\left( 2z-1\right) \mbox{d}z}{1+z^2}=-\frac{2}{u} \mbox{d}u\\ \ln{\left| z^2+1\right| }-\arctan{\left( z\right) }=-2\ln{\left| u\right| }+C\\ \ln{\left| u^2\left(z^2+1\right)\right| }-\arctan{\left( z\right) }=C\\ \ln{\left| v^2+u^2\right| }-\arctan{\left( \frac{v}{u}\right) }=C\)

ODPOWIEDZ