Matematyka.pl

Proszę o pomoc w zadaniu.

Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\), w dziedzinie jest topologia strzałka, a w przeciwdzedzinie topologia naturalna. Czy \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, czy jest homeomorfizmem?

\(\displaystyle{ f(x) = left{ egin{array}{ll}
0 & extrm{gdy $x in [0,1)$}\
1 & extrm{gdy $x in mathbb{R} setminus [0,1)$}
end{array}
ight.}\)

Czy \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa?

Dla wykazania (ewentualnej) ciągłości wystarczy sprawdzić czy przeciwobraz przedziału otwartego w topologii naturalnej jest otwarty w strzałce. Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie przedziałem otwartym. Mamy cztery możliwości.

1. \(\displaystyle{ 1\in I}\) oraz \(\displaystyle{ 0\not\in I}\). Wtedy \(\displaystyle{ f^{-1}(I)=RRsetminus[0,1)}\). Jest to zbiór otwarty w strzałce (nawiasem mówiąc wszystkie przedziały postaci \(\displaystyle{ [a,b)}\) generujące strzałkę są w niej domknięto-otwarte.

Pozostałe przypadki rozważ sama.

Nie wiem czy jest różnowartościowa.

Nie do końca rozumiem ten przeciwobraz dlaczego jest właśnie tak.
Kolejne przypadki wyglądają tak ?
\(\displaystyle{ 1 \not\in I}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \in I}\) wtedy \(\displaystyle{ f^{-1} (I) = [0,1)}\) otwarty w strzałce.
\(\displaystyle{ 1 \in I}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \in I}\) wtedy \(\displaystyle{ f^{-1}(I) =\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ 1 \not\in I}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \not\in I}\) wtedy \(\displaystyle{ f^{-1}(I) = \emptyset}\)

viola14 pisze:Nie wiem czy jest różnowartościowa.

No to bieda. A wiesz, co to jest funkcja różnowartościowa?

JK

Jeżeli
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in D} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}\)
to funkcja jest różnowartościowa.

Czyli w tym przpadku nie będzie bo jak wezmę \(\displaystyle{ x=3,y=4}\) to \(\displaystyle{ 1 = 1}\)

I tak się wyraża studentka matematyki? I to nie pierwszego roku, skoro zasadnicze pytanie dotyczy nie każdemu znanej topologii strzałki. Zgroza.

Rozpoznanie funkcji różnowartościowej (bądź nie będącej taką) w takim trywialnym przypadku powinno być kwestią dwóch sekund. Jeśli argumentów nieskończenie wiele, za to tylko dwie wartości, to jakże funkcja może być różnowartościowa?

Uzasadnienie nieróżnowartościowości przeprowadziłbym jak poniżej.

Skoro istnieją \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ x\ne y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różnowartościowa. Jako przykład można wziąć \(\displaystyle{ x=3}\) oraz \(\displaystyle{ y=4}\).