Matematyka.pl

Witam. Dnia dzisiejszego miał miejsce II etap konkursu kuratoryjnego z matematyki w woj. lubelskim. Jedno z zadań polegało na odpowiedzeniu Tak/Nie stwierdzeń i jego uzasadnieniu. Mam pewne wątpliwości co do tego podpunktu:
"Liczba \(\displaystyle{ A}\) jest większa od \(\displaystyle{ B}\).

\(\displaystyle{ A =5+ \frac{9}{8} + \frac{6}{ 8^{2} } + \frac{3}{ 8^{3} } + \frac{5}{ 8^{4} }}\)

\(\displaystyle{ B=5+ \frac{9}{8} + \frac{5}{ 8^{2} } + \frac{6}{ 8^{3} } + \frac{7}{ 8^{4} }}\) ".

Osobiście nie mogłem dostrzec żadnego powiązania, żeby ładnie wyszło jednym działaniem, więc podałem takie uzasadnienie:
Odejmijmy \(\displaystyle{ 5+ \frac{9}{8}}\) od obu liczb, a następnie pomnóżmy przez \(\displaystyle{ 8^4}\).
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 8^4 \cdot \left( A-\left( 5+ \frac{9}{8}\right)\right) = 384 + 24 + 5 = 413}\)
oraz
\(\displaystyle{ 8^4 \cdot \left( B-\left( 5+ \frac{9}{8}\right)\right) = 320 + 48 + 7 = 375}\).
Zatem, \(\displaystyle{ A>B}\).

Odp. Tak.

Metoda "na pałę", chociaż jestem przekonany, że należało to jakoś sprytnie obliczyć, ale innej metody znaleźć nie mogę, ktoś pomoże? Swoją drogą, dostanę za ten podpunkt maksymalną liczbę punktów (2p.)? Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś odpowiedział na moje pytania.

To nie wygląda nawet na zadanie, w którym wypadałoby użyć czegoś ponad. Po prostu mamy
\(\displaystyle{ A - B = \frac{1}{8^{2}} - \frac{3}{8^{3}} - \frac{2}{8^{4}} = \frac{1}{8^{2}} \left( 1 - \frac{3}{8} - \frac{2}{64} \right) > 0}\). Oczywiście widać, że to wyrażenie jest większe od \(\displaystyle{ 0}\) .

Kurczę, faktycznie tak też można to było zrobić. Dzięki!

Można też zauważyć, że:
\(\displaystyle{ A = (5.9635)_8 \\
B = (5.9567)_8}\)
zapisane w systemie ósemkowym, stąd oczywiście \(\displaystyle{ A > B}\) .

Clever! Tak najpierw coś myślałem, że skoro \(\displaystyle{ \frac{6}{ 8^{2} } > \frac{5}{ 8^{2} }}\) , to \(\displaystyle{ A>B}\), ale wolałem napisać uzasadnienie "na pałę", żeby nie było żadnych wątpliwości.