Działania na grupie - różne pytania

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Działania na grupie - różne pytania

Post autor: relic » 4 gru 2017, o 23:43

Witam,

mam za kilka zadań do rozwiązania związanych z działaniem grupy na zbiór, m. in.:

(i)Istnieje grupa \(\displaystyle{ G}\) rzędu 125 i tranzytywne działanie tej grupy na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mocy 30.

Patrze na to w ten sposób:
zakładam, że istnieje. Jeśli działanie jest tranzatywne, to ma jedną orbite.
Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ \left| X\right| =\left[ G:G_{x_1}\right]=\left| G(x_1)\right| =30}\), ale \(\displaystyle{ 30}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 125}\), więc nie ma takiego działania.

(ii)Dla każdej grupy \(\displaystyle{ G}\) rzędu 125 istnieje działanie tej grupy na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mocy 30 bez punktu stałego.

Jeśli istnieje działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na \(\displaystyle{ X}\), to moc zbioru punktów stałych \(\displaystyle{ \left| X^G\right| \equiv \left| X\right| \pmod 5}\), bo \(\displaystyle{ \left| G\right| =5^3}\).
Więc tych punktów stałych jest \(\displaystyle{ 5k, \ k=0 \vee 1 \vee 2 \vee 3 \vee 4 \vee 5 \vee 6}\). Dalej w sumie nie wiem jak to pociągnąć.
Jak w ogóle sprawdzić, czy takie działanie istnieje? Homomorfizm przeprowadza podgrupe na podgrupe, musiałbym pokazać, że w grupie \(\displaystyle{ \Sigma _X}\) istnieją podgrupy tych samych rzędów co w \(\displaystyle{ G}\)?

(iii)Istnieje działanie grupy \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) bez punktów stałych na zbiorze \(\displaystyle{ 20}\)–elementowym.

Tutaj w ogóle nie wiem. Niby musi być, że \(\displaystyle{ 20=\left[ G:G_x_1\right] +...+\left[ G:G_x_n\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ G\left( x_1\right),...,G\left( x_n \right)}\) to wszystkie parami różne wszystkie orbity działania, jednak rzędy podgrup mogą się sumować do 20, więc nie wiem jak dojść do sprzeczności, lub potwierdzić.


Trochę brak mi intuicji co do algebry jak widać


Podaje legendę, gdyby ktoś miał inne oznaczenia
\(\displaystyle{ \Sigma _X}\) - zbiór bijekcji zbioru \(\displaystyle{ X}\) w siebie
\(\displaystyle{ X^G}\) zbiór punktów stałych działania grupy \(\displaystyle{ G}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ G\left( x\right)}\)-orbita punktu \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ G_x}\)-grupa izotropii pkt. \(\displaystyle{ x}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Działania na grupie - różne pytania

Post autor: leg14 » 5 gru 2017, o 00:38

1) ok


2) Przeciez masz zalozenie, ze ma nie byc punktow stalych, to po co Ci ta
eśli istnieje działanie grupy G na X, to moc zbioru punktów stałych left| X^G
ight| equiv left| X
ight| pmod 5, bo left| G
ight| =5^3.
Więc tych punktów stałych jest 5k, k=0 vee 1 vee 2 vee 3 vee 4 vee 5 vee 6. Dalej w sumie nie wiem jak to pociągnąć.
Jak w ogóle sprawdzić, czy takie działanie istnieje?
analiza?

Odpoiwedz brzmi tak. Zacznij od dzialania \(\displaystyle{ G}\) na zbiorze warstw \(\displaystyle{ G/K}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest podgrupa rzedu \(\displaystyle{ K}\)
musiałbym pokazać, że w grupie Sigma _X istnieją podgrupy tych samych rzędów co w G?
niee

(iii)Istnieje działanie grupy Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.
A czy istnieje dzialanie \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) na zbiorze 5 - elementowym bez punktow stalych?

relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Działania na grupie - różne pytania

Post autor: relic » 5 gru 2017, o 00:57

leg14 pisze:
(iii)Istnieje działanie grupy Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.
A czy istnieje dzialanie \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) na zbiorze 5 - elementowym bez punktow stalych?
odpowiedziałbym, że tak.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Działania na grupie - różne pytania

Post autor: leg14 » 5 gru 2017, o 01:02

No to podziel \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ X_1 \cup ... \cup X_5}\) i na kazdym dzialaj tak samo

relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Działania na grupie - różne pytania

Post autor: relic » 5 gru 2017, o 01:20

Ale mówiąc, że odpowiedziałbym, że tak, to bardziej na czuja odpowiadam, a nie rozumiem czemu. Tzn. zbiór \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) i \(\displaystyle{ \Sigma_X}\) są równoliczne, więc w ogóle to sa izomorficzne. Nie ma punktu stałego, bo zawsze jest bijekcja która przeprowadzi dowolny pkt \(\displaystyle{ x}\) na inny pkt \(\displaystyle{ y}\).

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3972
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 387 razy

Re: Działania na grupie - różne pytania

Post autor: arek1357 » 5 gru 2017, o 08:01

Zaraz zaraz co do punktu drugiego mam pytanie jaka grupa rzędu 125 wykonuje działanie na zbiorze 30 elementowym?
Jakby to wyglądało w podziale na cykle?

relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Działania na grupie - różne pytania

Post autor: relic » 5 gru 2017, o 12:50

arek1357, moglbys wytlumaczyc o co Ci chodzi?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3972
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 387 razy

Re: Działania na grupie - różne pytania

Post autor: arek1357 » 5 gru 2017, o 17:35

Leg napisał, że spełnia punkt drugi jakaś grupa 125 elementowa, a ja się pytam jaka?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Działania na grupie - różne pytania

Post autor: leg14 » 5 gru 2017, o 18:06

Wez \(\displaystyle{ H,K < G}\), gdzie \(\displaystyle{ |K| =25}\) i \(\displaystyle{ |H| =5}\)
\(\displaystyle{ X = G/K \cup G/H}\). I standardowe dzialanie na wartstwach przez mnozenie z lewej

ODPOWIEDZ