Matematyka.pl

Uprzejmie prosiłbym o sprawdzenie poniższego zadania, z góry dziękuję.

Udowodnić Twierdzenie:
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ X}\) to jest też całkowalna na każdym \(\displaystyle{ X_0 \in \Sigma}\).

Moja próba:
Nie tracąc ogólności, załóżmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ X_0}\), że \(\displaystyle{ \int_{X_0}f = \infty}\).
Skoro \(\displaystyle{ X_0 \in \Sigma}\) to: (tu mam wątpliwości czy są tylko takie przypadki)
1. \(\displaystyle{ X_0 \subseteq X}\), lub

2. \(\displaystyle{ X_0 = \bigcup_{i=1}^{ \infty } A_i, A_i \subseteq X}\), dobrane tak by \(\displaystyle{ A_i}\) były parami rozłączne

Ad 1.
Wtedy \(\displaystyle{ X = (X \setminus X_0) \cup X_0}\).

\(\displaystyle{ \int_{(X \setminus X_0) \cup X_0}f = \int_{X \setminus X_0}f + \int_{X_0}f}\), ale \(\displaystyle{ \int_{X_0}f = \infty}\), więc sprzeczność - f nie jest całkowalna.

Ad 2.
Z przeliczalnej addytywności miary + troszkę więcej znaczków.

1. Co to jest \(\displaystyle{ \Sigma}\) ?
2. Jaką definicją całkowalności się posługujesz?

to czego używam to:
przestrzeń mierzalna: \(\displaystyle{ (X, \Sigma, h)}\), gdzie h to miara (funkcja przeliczalnie addytywna).
\(\displaystyle{ \Sigma}\) - sigma ciało ze zbioru \(\displaystyle{ X}\)

Def. Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna jeżeli \(\displaystyle{ \int_{X}f}\) ma wartość skończoną.

Jeśli \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ X_0 \in \Sigma,}\) to \(\displaystyle{ X_0 \subseteq X.}\) Wystarczy pierwszy przypadek w Twoim dowodzie i jest on rozważony poprawnie.