Matematyka.pl

Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości \(\displaystyle{ h_0}\) Na jakiej wysokości \(\displaystyle{ h_n}\) prędkość tego ciała będzie \(\displaystyle{ n}\) razy mniejsza od jego prędkości końcowej?
Rozwiązywałem na dwa sposoby i mi nie wyszła taka odpowiedź jaka powinna. Proszę o pomoc bo już 2 godzinę siedzę i nie wiem o co chodzi

Wysokość nad powierzchnią ziemi w chwili \(\displaystyle{ t}\) opisuje równanie \(\displaystyle{ h(t)=h_0-\frac{gt^2}{2}.}\) Czas końcowy \(\displaystyle{ t_k}\) otrzymujemy więc z równania \(\displaystyle{ \frac{gt_k^2}{2}=h_0}\).

Teraz prędkość \(\displaystyle{ v(t)=gt.}\) Więc prędkość końcowa to \(\displaystyle{ gt_k.}\)

Układamy równanie: \(\displaystyle{ nv_n=gt_k.}\) Stąd \(\displaystyle{ v_n=\frac{gt_k}{n}}\) i drugie równanie \(\displaystyle{ gt_n=v_n}\) da nam czas osiągnięcia żądanej wysokości. Oblicz \(\displaystyle{ h(t_n).}\)

To znaczy okej wszystko mi się teraz zgadza tylko że zadanie było do działu z kinematyką i próbowałem je rozwiązać używając tylko kinematyki. Da się je rozwiązać po przez tylko kinematykę ?

A jak niby zostało rozwiązane? Ja widzę czystą kinematykę.

prawda pokręciło mi już w głowie

Prędkość początkowa ciała jest równa \(\displaystyle{ v_{0}=0.}\)

Przyśpieszenie i przesunięcie ciała zwrócone są w dół - ku Ziemi.

Gdy ciało przesunie się o \(\displaystyle{ \Delta y}\) jego prędkość spełnia równanie:

\(\displaystyle{ v^2 = 0^2g\cdot \Delta y = 2g\cdot \Delta y}\)

Końcową prędkość \(\displaystyle{ v_{k}}\) ciało osiąga spadając z wysokości \(\displaystyle{ h_{0}.}\)

\(\displaystyle{ n-}\) tą część prędkości ciało osiąga na wysokości \(\displaystyle{ h_{n}< h_{0}}\) nad Ziemią, to znaczy po przebyciu drogi \(\displaystyle{ \Delta y = h_{0}- h_{n}}\) od punktu spadania.

Wstawiając te dane do wzoru na prędkość, otrzymujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} v^2_{k} = 2g\cdot h_{0} \\ \left( \frac{1}{n}v_{k}\right)^2 = 2g\cdot (h_{0} - h_{n}) \end{matrix} \right .}\)

Dzieląc stronami te równania

\(\displaystyle{ n^2 = \frac{h_{0}}{h_{0} - h_{n}},}\)

skąd

\(\displaystyle{ \frac{h_{n}}{h_{0}} =\frac{n^2-1}{n^2}.}\)

Odpowiedź: ciało ma prędkość równą \(\displaystyle{ n-}\)tej tej prędkości końcowej, gdy znajduje się na wysokości \(\displaystyle{ h_{n} = \frac{n^2-1}{n^2}\cdot h_{0}}\) wysokości początkowej.