Matematyka.pl

Jaś i Małgosia rzucają monetami: Jaś rzuca \(\displaystyle{ n}\) razy, a Małgosia \(\displaystyle{ n+1}\) razy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Małgosi wypadnie więcej orłów niż Jasiowi?

Zdarzenie losowe polega na n- krotnym rzucie Jasia i na (n+1) krotnym rzucie Małgosi - na przemian uczciwą, symetryczną monetą.

Doświadczenie losowe modelujemy rozkładem Bernoulliego \(\displaystyle{ \mathcal{B}(n,k).}\)

Prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ k}\) orłów w n rzutach monetą wynosi:

\(\displaystyle{ p(n, k) = {n\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}= {n\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.}\)

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " Małgosi wypadnie więcej orłów niż Jasiowi".

W celu zastosowania zasady odbicia Andre's - rozpatrujemy zdarzenie przeciwne

\(\displaystyle{ \overline{A}}\) " Małgosi wypadnie więcej reszek niż Jasiowi".

Liczba reszek \(\displaystyle{ r}\) musi być większa od liczby orłów \(\displaystyle{ o}\), więc

\(\displaystyle{ n+1 \leq r\leq 2n+1}\)

i liczba uzyskanych reszek przewyższająca liczbę uzyskanych orłów wynosi:

\(\displaystyle{ \sum_{r= n+1}^{2n+1} \left[ {2n+1\choose r} - {2n+1\choose r+1}\right] = {2n+1 \choose n +1}.}\)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wynosi:

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{{2n+1 \choose n +1}}{2^{2n+1}}.}\)