Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: mat06 » 30 lis 2017, o 22:39

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych:

\(y^2=cx^3\)

Chcąc rozwiązać to zadanie zaczynam od spierwiastkowania \(y\)-ka, czy nie muszę tego zrobić?

Licząc po spierwiastkowaniu \(y=cx^{\frac{3}{2}\) otrzymałem, że:
\(\frac{3y^2}{2}+x^2=c\)

Licząc bez pierwiastkowania \(y\):
\(y^3+x^2=c\)

Który sposób jest poprawny?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: janusz47 » 1 gru 2017, o 09:58

W celu znalezienia rodziny krzywych ortogonalnych, czyli trajektorii przecinających rodzinę krzywych pod kątem prostym należy:

- wyznaczyć (wyrugować) parametr \(c\) z układu równań:

\(y = \pm c\cdot x^{\frac{3}{2}\) (1)

\(y' = \pm \frac{3}{2}c\cdot x^{\frac{1}{2}\) (2)

Dzielimy stronami równania (1) , (2)

\(\frac{y}{y'} = \frac{2}{3}x\) (3)

- zastąpić w równaniu (3) \(y'\) przez \(-\frac{1}{y'}\)

\(ydy +\frac{2}{3}x dx =0.\)

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych \(y^2 =c\cdot x^3?\)

Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: kinia7 » 1 gru 2017, o 21:55

janusz47 pisze:\(\frac{y}{y'} = \frac{2}{3}x\) (3)

- zastąpić w równaniu (3) \(y'\) przez \(-\frac{1}{y'}\)
Mogę prosić o wyjaśnienie, z czego to wynika?

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: mat06 » 1 gru 2017, o 22:18

janusz47 pisze:
\(ydy +\frac{2}{3}x dx =0.\)

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych \(y^2 =c\cdot x^3?\)
Po scałkowaniu otrzymałem wynik:
\(c=\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{3}\)

To prawidłowa odpowiedź, czy może zapisać to w postaci:
\(y= \pm \sqrt{\frac{2}{3}x+c}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: janusz47 » 1 gru 2017, o 23:25

Jeśli na płaszczyźnie \(Oxy\) dana jest jednoparametrowa rodzina \(\mathcal{L}\) krzywych określona równaniem

\(\mathcal{K}(x, y, c) =0\) (1)

to krzywa \(\mathcal{L}_{1}\) przecinające wszystkie krzywe rodziny (1) po tym samym kątem \(\alpha\) nosi nazwę trajektorii izogonalnej tej rodziny.
Jeśli w szczególności \(\alpha = \frac{1}{2}\pi,\) to trajektorię izogonalną nazywamy trajektorią ortogonalną.

Niech \(M(x,y)\) będzie dowolnym punktem trajektorii izogonalnej \(\mathcal{L}_{1}\)

Oznaczmy kąty utworzone przez oś \(Ox\) ze styczną \(MT\)do krzywej \(\mathcal{L}\) przechodzącą przez punkt \(M\) i ze styczną \(MT_{1}\) do trajektorii \(\mathcal{L}_{1}\) w punkcie \(M\) odpowiednio przez \(\phi , \phi_{1}.\) (proszę wykonać rysunek)

Wówczas przy przemieszczaniu się punktu \(M\) wzdłuż trajektorii spełniona jest równość

\(\phi_{1} = \phi +\alpha =const.\)

przy czym

\(\tg(\phi) = \frac{dy}{dx}, \ \ \tg(\phi_{1})= \frac{dy_{1}}{dx_{1}}.\)

Załóżmy, że

\(\alpha \neq \frac{1}{2}\pi.\) i oznaczmy \(\tg(\alpha) = k.\)

Mamy

\(\phi = \phi_{1} - \alpha.\)

A zatem

\(\tg(\phi) = \frac{\tg(\phi_{1}) - \tg(\alpha)}{1 - \tg(\alpha)\cdot \tg(\phi_{1})}.\)

czyli

\(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy_{1}}{dx_{1}} - k}{1 + k\cdot \frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\) (2)

Równość ta ustala związek między kierunkiem stycznej w dowolnym punkcie \(M\) trajektorii \(\mathcal{L}_{1},\) a kierunkiem stycznej do krzywej \(\mathcal{L}\) rodziny (1) przechodzącej przez ten punkt.

Tworząc równanie różniczkowe rodziny (1), musimy wyeliminować (wyrugować - nie lubię tego słowa)
parametr \(c.\)

W tym celu zwykle eliminujemy ten parametr z układu równań:

\(\mathcal{K}(x, y c) =0, \ \ \mathcal{K'}_{|x} + \mathcal{K'}_{|y}\cdot \frac{dy}{dx}=0.\)

Otrzymujemy

\(\mathcal{K}\left( x, y, \frac{dy}{dx}\right) = \mathcal{K}\left(x_{1}, y_{1},\frac{\frac{dy_{1}}{dx_{1}} -k}{1 + k\cdot \frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\right)=0\) (3)

Równość (3) jest równaniem różniczkowym rodziny trajektorii izogonalnych.

Jeżeli \(\alpha =\frac{1}{2}\pi,\) to \(\tg \left(\phi_{1}-\frac{1}{2}\pi\right)= -\ctg(\phi_{1}) = -\frac{1}{\tg(\phi_{1})},\)

więc z (2) otrzymujemy

\(\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\frac{dy_{1}}{dx_{1}}},\)

a równanie różniczkowe rodziny trajektorii ortogonalnych ma postać:

\(\mathcal{K}\left(x_{1}, y_{1}, -\frac{1}{\frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\right) = 0.\)
Ostatnio zmieniony 8 gru 2017, o 02:59 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: kinia7 » 1 gru 2017, o 23:28

Dziękuję. Szkoda, że nie mogę kliknąć „pomógł”.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Wyznaczyć rodzine krzywych ortogonalnych

Post autor: janusz47 » 1 gru 2017, o 23:34

Dziękuję!

ODPOWIEDZ