Równanie różniczkowe jaki typ

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Ben_Kart
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 paź 2016, o 18:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: Ben_Kart » 29 lis 2017, o 12:07

\(\left( xy^{2} + y \right) \mbox{d}x + \left( 2y-x\right) \mbox{d}y=0\)

Może ma kto jaki pomysł?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: janusz47 » 29 lis 2017, o 13:20

Jest to równanie różniczkowe zupełne, którego lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji \(U(x,y).\)

\(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,\)

\(\frac{\partial M(x,y)}{ \partial x}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial y} = y^2.\)

I sposób

Otwórz nawiasy, pogrupuj wyrazy tak, aby każda grupa przedstawiała różniczkę zupełną.
Zastąp różniczkę sumy przez sumę różniczek.

II sposób

Skonstruuj całkę ogólną.
Ostatnio zmieniony 29 lis 2017, o 13:32 przez janusz47, łącznie zmieniany 2 razy.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL

Re: Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: SlotaWoj » 29 lis 2017, o 13:28

  • \(\pfrac{M(x,y)}{y}=2xy+1\neq-1=\pfrac{N(x,y)}{y}\)

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 470
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: Belf » 29 lis 2017, o 13:40

Mamy:

\(P=xy^2+y\) ; \(Q = 2y-x\)
\(\frac{ \partial P}{ \partial y }=2xy+1\) ; \(\frac{ \partial Q}{ \partial x}=-1\)
\(\frac{P_y-Q_x}{P}= \frac{2}{y}\) nie zależy od x
Czynnik całkujący:
\(\left( y \right) =e^{ \int \frac{-2}{y}{dy}}= \frac{1}{y^2}\)

Po wymnożeniu dostajesz równanie zupełne:
\(\left( x+ \frac{1}{y} \right) \mbox{d}x + \left( \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) { \mbox{d}y =0\)
Ostatnio zmieniony 29 lis 2017, o 14:14 przez Belf, łącznie zmieniany 2 razy.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL

Re: Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: SlotaWoj » 29 lis 2017, o 13:51

Bez minusa:
  • \(\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2}{y}\)

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 470
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: Belf » 29 lis 2017, o 13:55

SlotaWoj pisze:Bez minusa:
  • \(\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2}{y}\)
Racja. Dziękuję.-- 29 lis 2017, o 14:33 --
janusz47 pisze:Jest to równanie różniczkowe zupełne, którego lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji \(U(x,y).\)
To nie jest równanie zupełne.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: mariuszm » 30 lis 2017, o 03:16

\(\left( xy^{2} + y \right) \mbox{d}x + \left( 2y-x\right) \mbox{d}y=0\\ \left( xy^{2} + y \right) +\left( 2y-x\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\left( x-2y\right) =\left( xy^{2} + y \right)\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\frac{xy^{2} + y}{x-2y}\\ y=ux\\ y'=u'x+u\\ u'x+u=\frac{u^2x^3+ux}{x-2ux}\\ u'x=\frac{u^2x^2+u}{1-2u}-u\\ u'x=\frac{u^2x^2+u-u+2u^2}{1-2u}\\ u'x=\frac{u^2x^2+2u^2}{1-2u}\\ u'x=\frac{\left( x^2+2\right)u^2 }{1-2u}\\ \frac{1-2u}{u^2}u'=\frac{x^2+2}{x}\\ \frac{1-2u}{u^2} \mbox{d}u=\frac{x^2+2}{x} \mbox{d}x \\ -\frac{1}{u}-2\ln{\left| u\right| }=\frac{x^2}{2}+2\ln{\left| x\right| }-\frac{C}{2}\\ -\frac{2}{u}-4\ln{\left| u\right| }=x^2+4\ln{\left| x\right| }-C\\ -\frac{2x}{ux}-4\ln{\left| ux\right| }-x^2=-C\\ \frac{2x}{y}+4\ln{\left| y\right| }+x^2=C\\\)

Podstawienie dla równania jednorodnego powinno tutaj działać

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe jaki typ

Post autor: janusz47 » 30 lis 2017, o 09:06

Metoda funkcji całkującej formy różniczkowej

Rozpatrujemy jednoformę różniczkową (różniczkę funkcji):

\(d \omega(x,y) = (xy^2 +y) dx + (2y -x)dy\) (0)

Aby Forma (0) była formą dokładną, potrzeba i wystarcza, aby zachodziła równość:

\([(xy^2 +y)\cdot i(x,y)]_{|y} = [(2y - x)\cdot i(x,y)]_{|x},\)

dla pewnej rzeczywistej funkcji \(i(x,y), \ \ x, y \in R \setminus \{(0,0)\}.\)

Stąd

\((2xy +1)\cdot i(x,y) + (xy^2 +y)\cdot i(x,y)_{|y} = -i(x,y) + (2y - x)\cdot i(x,y)_{|x}.\)

\((2xy +2)\cdot i(x,y) +(xy^2 +y)\cdot i(x,y)_{|y} = (2y - x)\cdot i(x,y)_{|x}\) (1)

Z (1) oraz warunku koniecznego i wystarczającego istnienia funkcji \(i\) wynika, że

\(2y - x = 0, \ \ x =2y\) (2)

Kładąc (2) do (1)

\((4y^2 +2)\cdot i(x,y) +(2y^3 +y) \cdot i(x,y)_{|y} = 0.\)

\(\frac{i(x,y)_{|y}}{i(x,y)} = - \frac{4y^2 +2}{2y^3 +y}= - \frac{2(2y^2+1)}{y(2y^2+1)}= \frac{-2}{y}.\)

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielających się, którego rozwiązaniem jest funkcja:

\(i(x,y) =\overline{i}(y) = \frac{A}{y^2}.\)

Stałą \(A\) położymy równą \(1\), gdyż nie szukamy najbardziej ogólnej postaci funkcji \(i\). Wystarczy nam wskazać jedną konkretną jej postać.

Po pomnożeniu formy (0) przez czynnik \(\frac{1}{y^2}\) otrzymujemy jednoformę dokładną

\(d\omega^{*}(x,y) = \left( x + \frac{1}{y}\right)dx + \left(\frac{2}{y} - \frac{x}{y^2}\right)\) (3)

\(\overline{M}(x,y)_{|y} = -\frac{1}{y^2} = \overline{N}(x,y)_{|x}.\)

Znajdujemy pierwotną formy (3)

\(\omega^{*}(x,y) = \int \left(x+\frac{1}{y}\right)dx = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+ \phi(y).\)

\(\omega^{*}_{|y}(x.y) = -\frac{x}{y^2}+ \phi'(y)= \frac{2}{y}-\frac{x}{y^2}\)

\(\phi'(y) = \frac{2}{y}\)

\(\phi(y) = 2\ln(y) + C\)

\(\omega^{*}(x, y) = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y} + 2\ln(y) + C.\)

Rozwiązanie równania ma więc postać uwiklaną:

\(\frac{x^2}{2}+\frac{x}{y} + 2\ln(y) = const.\)

ODPOWIEDZ