Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są dowolnymi liczbami nieparzystymi, to co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ ab-1, bc-1,ca-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Proszę o pomoc w rozwiązaniu!

Skoro liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są nieparzyste, to muszą być postaci \(\displaystyle{ 4k_{i} \pm 1}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3}\) . W takim wypadku istnieją dwie dające tą samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) . Niech to będą liczby \(\displaystyle{ a, b}\) . Pokaż, że wtedy \(\displaystyle{ 4 | ab - 1}\) .

Niech

\(\displaystyle{ a=2n+1}\)

\(\displaystyle{ b=2k+1}\)

\(\displaystyle{ c=2p+1}\)

wtedy

\(\displaystyle{ ab-1=4nk+2(n+k)}\)

\(\displaystyle{ bc-1=4kp+2(k+p)}\)

\(\displaystyle{ ca-1=4np+2(n+p)}\)

Zauważ że wśród liczb \(\displaystyle{ n+k,\ k+p,\ n+p}\)
zawsze znajdzie się parzysta bo jeśli 2 z \(\displaystyle{ (n,k,p)}\) były by nieparzyste to ich suma była by parzysta jeśli jedna była by nieparzysta to suma 2 parzystach da parzystą. Tak więc zawsze znajdzie się taka liczba parzysta więc dla ustalania uwagi niech będzie to \(\displaystyle{ n+k}\) co zapiszemy \(\displaystyle{ n+k=2m}\) wtedy
\(\displaystyle{ ab-1=4nk+4m=4(nk+m)}\)
Co kończy dowód.

Dzięki za szybkie podpowiedzi

Dlaczego \(\displaystyle{ n+k=2m}\) a nie samo \(\displaystyle{ m}\)? dlaczego w tym przypadku podstawiamy \(\displaystyle{ 2m}\)?

\(\displaystyle{ m}\) to nowa zmienna jakaś liczba naturalna jej oznaczenie jest wybrane arbitralnie. Wiemy o \(\displaystyle{ n+k}\) że jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) więc można ją zapisać jako iloczyn \(\displaystyle{ 2}\) z liczną naturalną właśnie \(\displaystyle{ m}\) dlatego \(\displaystyle{ n+k=2m}\)

Teraz rozumiem.