Wartość oczekiwana
: 27 lis 2017, o 21:51
W urnie znajdują się 3 kule, każda z nich zostaje pomalowana na czarno z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Trzykrotnie losujemy ze zwracaniem kulę z urny - okazuje się, że dokładnie 2 razy wylosowaliśmy czarną.
Jaka jest wartość oczekiwana liczby czarnych kul w urnie?
Pomoże ktoś z tym zadaniem?
-- 27 lis 2017, o 23:44 --
niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza, że w urnie było \(\displaystyle{ i}\) kul czarnych.
niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza, że 2 razy na 3 próby wylosowaliśmy czarną kulę.
teraz z twierdzenia bayesa wyznaczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że w kuli było \(\displaystyle{ i}\) kul dla \(\displaystyle{ i = 1,2,3}\), czyli \(\displaystyle{ P(X_{i} | A)}\)
\(\displaystyle{ P(X_{i}) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{1} | A) = \frac{P(A | X_{1})}{P(A | X_{1}) + P(A | X_{2}) + P(A | X_{3})} = \frac{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} }{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 0} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2} | A) = \frac{P(A | X_{2})}{P(A | X_{1}) + P(A | X_{2}) + P(A | X_{3})} = \frac{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} }{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 0} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2} | A) = 0}\)
Teraz liczymy wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ EX = E(X_{1} + X_{2} + X_{3}) = EX_{1} + EX_{2} + EX_{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot 0 = \frac{5}{3}}\)
Czy dobrze to rozumuję? Wynik wydaje się być rozsądny
Trzykrotnie losujemy ze zwracaniem kulę z urny - okazuje się, że dokładnie 2 razy wylosowaliśmy czarną.
Jaka jest wartość oczekiwana liczby czarnych kul w urnie?
Pomoże ktoś z tym zadaniem?
-- 27 lis 2017, o 23:44 --
niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza, że w urnie było \(\displaystyle{ i}\) kul czarnych.
niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza, że 2 razy na 3 próby wylosowaliśmy czarną kulę.
teraz z twierdzenia bayesa wyznaczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że w kuli było \(\displaystyle{ i}\) kul dla \(\displaystyle{ i = 1,2,3}\), czyli \(\displaystyle{ P(X_{i} | A)}\)
\(\displaystyle{ P(X_{i}) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{1} | A) = \frac{P(A | X_{1})}{P(A | X_{1}) + P(A | X_{2}) + P(A | X_{3})} = \frac{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} }{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 0} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2} | A) = \frac{P(A | X_{2})}{P(A | X_{1}) + P(A | X_{2}) + P(A | X_{3})} = \frac{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} }{{{3}\choose{2}} \cdot (\frac{1}{3})^{2} \cdot \frac{2}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot (\frac{2}{3})^{2} \cdot \frac{1}{3} + {{3}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 0} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2} | A) = 0}\)
Teraz liczymy wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ EX = E(X_{1} + X_{2} + X_{3}) = EX_{1} + EX_{2} + EX_{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot 0 = \frac{5}{3}}\)
Czy dobrze to rozumuję? Wynik wydaje się być rozsądny