Matematyka.pl

3.Rozwiązać równania:
a)\(\displaystyle{ z^3+3z^2+3z=i-1}\)
dobra to widać że \(\displaystyle{ (z+3)^3=i}\) , ale co dalej, jak mam to rozpatrywać z tym \(\displaystyle{ =i}\) ?

b)\(\displaystyle{ z^2+(1-3i)z-2-i=0}\) co w takim wypadku?

Cukiernik pisze:3.Rozwiązać równania:
a)\(\displaystyle{ z^3+3z^2+3z=i-1}\)
dobra to widać że \(\displaystyle{ \left( z+3 \right) ^3=i}\) , ale co dalej, jak mam to rozpatrywać z tym \(\displaystyle{ =i}\)?

Raczej widać:
\(\displaystyle{ \left( z+1 \right) ^3=i\\
z+1= \sqrt[3]{i}}\)
Na boku liczysz trzy wartości pierwiastka:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}= \sqrt[3]{\cos \left( \frac{ \pi }{2}+k2 \pi \right) +i\sin \left( \frac{ \pi }{2}+k2 \pi \right) }
=\cos \left( \frac{ \pi }{6}+ k \frac{2 \pi }{3} \right) +i\sin \left( \frac{ \pi }{6}+ k \frac{2 \pi }{3} \right)}\)
....
....
a mając je możesz podać trzy rozwiązania pierwotnego równania.
....
....

Cukiernik pisze:\(\displaystyle{ z^2+ \left( 1-3i \right) z-2-i=0}\) co w takim wypadku?

wersja 1) Liczysz deltę
wersja 2) podstawiasz \(\displaystyle{ z=a+ib}\), upraszczasz i porównujesz części urojone i rzeczywiste obu stron równania