Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm

Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: funny4114 » 26 lis 2017, o 19:29

Rozwiązując równanie: \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2\) metodą uzmienniania stałej otrzymuję funkcję: \(y= \frac{x ^{2}+C }{x}\), natomiast stosując podstawienie \(t= \frac{y}{x}\) uzyskuję wynik: \(y= \frac{2x ^{2}-C }{2x}\). Teraz moje pytanie,czy po policzeniu całki w drugiej metodzie, w momencie gdy równanie ma postać: \(2-2 \frac{y}{x} = \frac{C}{x ^{2} }\) po podzieleniu obustronnie przez 2 po prawej stronie powinienem napisać przykładowo \(=\frac{ C_{1} }{ x^{2} } ; C _{1}= \frac{C}{ 2}\) czy zostawić tak jak napisałem powyżej? Proszę o ogólną radę jak radzić sobie ze stałą w tych równaniach.
Ostatnio zmieniony 26 lis 2017, o 20:10 przez funny4114, łącznie zmieniany 1 raz.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: a4karo » 26 lis 2017, o 19:51

Warto znać inne literki też. Jak rozwiązanie z drugiej metody napiszesz
\(y= \frac{2x ^{2}-D }{2x}= \frac{x ^{2}+(-D/2) }{x}\) to zobaczysz, że to jest to samo gdy \(C=-D/2\)

funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm

Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: funny4114 » 26 lis 2017, o 20:19

W pierwszym poście był błąd w oznaczeniu \(C_{1}\), teraz jest poprawione. Tak czy inaczej czy przed wyznaczaniem stałej z zagadnienia początkowego powinienem doprowadzić do tego, by przed szukaną stałą nie znajdowała się żadna inna? (tak jak w tym przypadku \(-\frac{1}{2}\))

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: a4karo » 26 lis 2017, o 21:04

A co za roznica? polowa stałej też jest stałą

funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: funny4114 » 26 lis 2017, o 21:21

Czyli zawsze mogę napisać: \(-\frac{1}{2}C=C, 3\sqrt{80}C=C\) itd.?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: a4karo » 26 lis 2017, o 21:33

Tak to nie, bo z takich równości wynika \(C=0\). Po prostu zawsze z tyłu głowy musisz mież świadomość, że rozmawiamy nie o jednej funkcji, ale o całej ich rodzinie. I wtedy zamiast \(C+2E\) możesz napisać \(C\), ale nie ma tu równości tych stałych

funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: funny4114 » 26 lis 2017, o 21:48

Rozumiem. Teraz dla upewnienia w \(y= \frac{x ^{2}+(-D/2) }{x}\) związek\(- \frac{D}{2}\) mogę zastąpić przez \(E,F,G,H\) itd. ale na pewno nie przez \(D\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: a4karo » 26 lis 2017, o 21:52

Na przykład. Dlatego często zapisuje się to \(+\ const\) nie precyzując jak ta stała się nazywa.

funny4114
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 2 gru 2016, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nvm

Re: Stała w rozwiązaniu równania różniczkowego

Post autor: funny4114 » 26 lis 2017, o 22:00

Dziękuję bardzo!

ODPOWIEDZ