Matematyka.pl

Pokazac, ze nastepujace ciagi sa rozbiezne :

\(\displaystyle{ a_{n}= (2-4\cos n) n^{2}}\)


\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{(3+\sin (3 ^{n}))n^{4} }{n^{3}-1}}\)


W pierwszym przykładzie ogranicając \(\displaystyle{ cosn}\) przez 1 i -1 zauważyłem że rozbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) oraz \(\displaystyle{ -\infty}\) jednak nie wiem jak matematycznie uzasadnić ten fakt .

W pierwszym przykładzie ogranicając cosn przez 1 i -1 zauważyłem że rozbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) oraz \(\displaystyle{ -\infty}\) jednak nie wiem jak matematycznie uzasadnić ten fakt.

To nie wystarczy ponieważ ograniczenie czegoś przez \(\displaystyle{ - \infty}\) i \(\displaystyle{ \infty}\) nic nie daje.
Można zamiast tego rozpatrzeć 2 zbiory takie że:

\(\displaystyle{ A=\left\{ n:n\in\NN \wedge (2-4\cos n) \le -1\right\}}\)

\(\displaystyle{ B=\left\{ n:n\in\NN \wedge (2-4\cos n) \ge 1\right\}}\)

W każdym z tych zbiorów znajduje się nieskończenie wiele elementów \(\displaystyle{ a_i\in A}\) i \(\displaystyle{ b_i\in B}\)

Widać teraz że można ich użyć jako podciągów dla jakich granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }(2-4\cos n) n^{2}}\) będzie dawała równe wyniki.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }(2-4\cos a_n) a_n^{2}=- \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }(2-4\cos b_n) b_n^{2}= \infty}\)


A co do \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{(3+\sin (3 ^{n}))n^{4} }{n^{3}-1}}\) to wystarczy oszacować z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{2n^4}{n^3-1} \rightarrow \infty}\) i korzystając z 2 ciągów podać wynik.

Janusz Tracz pisze:

W pierwszym przykładzie ogranicając cosn przez 1 i -1 zauważyłem że rozbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) oraz \(\displaystyle{ -\infty}\) jednak nie wiem jak matematycznie uzasadnić ten fakt.

To nie wystarczy ponieważ ograniczenie czegoś przez \(\displaystyle{ - \infty}\) i \(\displaystyle{ \infty}\) nic nie daje.
Można zamiast tego rozpatrzeć 2 zbiory takie że:

\(\displaystyle{ A=\left\{ n:n\in\NN \wedge (2-4\cos n) \le -1\right\}}\)

\(\displaystyle{ B=\left\{ n:n\in\NN \wedge (2-4\cos n) \ge 1\right\}}\)

W każdym z tych zbiorów znajduje się nieskończenie wiele elementów \(\displaystyle{ a_i\in A}\) i \(\displaystyle{ b_i\in B}\)

Ten argument wymaga uzasadnienia i nie jest ono banalne

\(\displaystyle{ (2-4\cos n) \le -1}\) jest równoważne z \(\displaystyle{ \cos n \ge \frac{3}{4}}\).
A to można zapisać jako \(\displaystyle{ 2\pi k-\arccos \left( \frac{3}{4} \right) \le n \le 2\pi k+\arccos \left( \frac{3}{4} \right)}\)
Ponieważ długość tego przedziału wynosi \(\displaystyle{ 2\arccos \left( \frac{3}{4}\right)}\) i jest to liczba większa od \(\displaystyle{ 1}\) to w przedziale znajdzie się zawsze jakaś liczba naturalna.

Analogicznie \(\displaystyle{ (2-4\cos n) \ge 1}\) z tego mamy że \(\displaystyle{ \cos n \le \frac{1}{4}}\) czyli
\(\displaystyle{ 2\pi k-\arccos \left( \frac{1}{4} \right) \le n \le 2\pi k+\arccos \left( \frac{1}{4} \right)}\)
A długość tego przedziału to \(\displaystyle{ 2\arccos \left( \frac{1}{4}\right)}\) co jest również większe od \(\displaystyle{ 1}\)