Udowodnić że rozwiązanie dla danego równania istnieje na R

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
d_on_dt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 lis 2017, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlochy

Udowodnić że rozwiązanie dla danego równania istnieje na R

Post autor: d_on_dt » 25 lis 2017, o 22:40

Witam,
Przepraszam jeżeli tytuł nie jest z najlepszych ale piszę po polsku po raz pierwszy od paru lat. Dostałem do rozwiązania ten układ równań różniczkowych:

\(\begin{cases} x'(t) = -x(t) + x(t)y(t) \\ y'(t) = -2y(t) - x^2(t) \end{cases}\)

Jestem proszony o udowodnienie że rozwiązania tego układu są określone na całym \(\mathbb{R}\). Jako podpowiedź dostaliśmy tylko ten przykład:

\(\begin{cases} x'(t) = y(t) \\ y'(t) = -x(t) \end{cases}\)

Możemy teraz pomnożyć pierwsze równanie przez \(x\) a drugi przez \(y\):

\(\begin{cases} x(t)x'(t) = x(t)y(t) \\ y(t)y'(t) = -x(t)y(t) \end{cases}\)

Sumując :

\(x(t)x'(t) + y(t)y'(t) = 0 \\ \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\Big(x^2(t) + y^2(t)\Big) = 0\)

Z tego rozumiem że \(x^2(t)+y^2(t) \le C\) gdzie \(C\) jest pewną skończoną liczbą. Wiem również że \(x(t) \le D\) i że \(y(t) \le E\) gdzie \(D\) i \(E\) to kolejne dwie skończone liczby. Rozumiem również że \(\parallel\!(x(t),y(t)\!\parallel\ \le F\).

Jedyna podpowiedź jaką dostaliśmy to że musimy znaleźć po co pomnożyć pierwsze i drugie równanie aby móc udowodnić to co szukamy. Mam nadzieje ze wytłumaczyłem o co mi chodziło.

Dziękuję z góry
Ostatnio zmieniony 26 lis 2017, o 01:02 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ