Rozwiązanie równania struny (met. Fouriera)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Miss_Ka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 gru 2016, o 17:32
Płeć: Kobieta

Rozwiązanie równania struny (met. Fouriera)

Post autor: Miss_Ka » 25 lis 2017, o 16:38

Dzień dobry,

mam problem z rozwiązaniem równania struny, gdzie jednym z warunków brzegowych jest pochodna.
Zadanie wygląda następująco:
\(u'' _{ x ^{2}}- \frac{1}{4}u'' _{ t ^{2}} =0\)
\(D=\left\{ (x,t):0 \le x \le 1 \wedge t \ge 0}\right\}\)

warunki początkowe: \(u(x,0)=\sin \frac{ \pi x}{2}\)
\(u' _{t } (x,0)=0\)
warunki brzegowe: \(u(0,t)=u' _{x}(1,t)=0\)

Moje rozwiązanie zadania jest niepełne i nie jestem pewna czy poprawne. Wygląda tak:
\(u(x,t)=X(x)T(t) \\ X''(x)T(t)= \frac{1}{4} X(x)T''(t) \\ \frac{X"(x)}{X(x)} = \frac{1}{4} \frac{T"(t)}{T(t)}=k\ (const.) \\ X"(x)-X(x)k=0\)

Rozważam przypadek, gdy \(k<0\) i otrzymuję:
\(X(x)=C _{1} \cos \lambda x+C _{2}\sin \lambda x\)

Z warunków brzegowych:
\(0=X(0)=C _{1}\)

i tutaj nie wiem co zrobić z drugim warunkiem brzegowym w postaci pochodnej \(u' _{x}(1,t)=0\)
Policzyłam pochodną \(X'(x)=-C _{1} \lambda \sin \lambda x + C _{2} \lambda \cos \lambda x\)
i do niej "wstawiłam" warunek brzegowy, otrzymałam:
\(0=X'(1)=-C _{1} \lambda\)

\(0=X(0)=C _{1} \\ 0=X'(1)=-C _{1} \lambda\)

Z dwóch powyższych równań wynikałoby, że \(\lambda = -1\),
czyli \(X(x)=C _{2} \sin (-x)\)

Czy moje rozważania są poprawne? Bardzo proszę o jakąkolwiek pomoc, sugestię.
Ostatnio zmieniony 25 lis 2017, o 21:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

ODPOWIEDZ