Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania

Post autor: bolo » 24 wrz 2007, o 17:43

Przykładowe zadanie z wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^{3}+3xy^{2}+12xy.}\)

Rozwiązanie:
  1. Obliczamy \(\displaystyle{ \tfrac{\partial f}{\partial x}}\), \(\displaystyle{ \tfrac{\partial f}{\partial y}}\), \(\displaystyle{ \tfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}}\), \(\displaystyle{ \tfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}}\), \(\displaystyle{ \tfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}}\):

    \(\displaystyle{ \begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x}&=&3x^{2}+3y^{2}+12y, \\ \frac{\partial f}{\partial y}&=&6xy+12x, \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}&=&6x, \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}&=&6x, \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}&=&6y+12.\end{array}}\)
  2. Rozwiązujemy układ równań:

    \(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{cases} \\ \begin{cases}3x^{2}+3y^{2}+12y=0 \\ 6xy+12x=0\end{cases} \\ \begin{cases}x^{2}+(y+2)^{2}=4 \\ x(y+2)=0\end{cases}}\)

    Otrzymujemy cztery rozwiązania powyższego układu równań:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}x=-2 \\ y=-2,\end{cases}\quad\vee\quad \begin{cases}x=0 \\ y=0,\end{cases}\quad\vee\quad \begin{cases}x=2 \\ y=-2,\end{cases} \quad\vee\quad \begin{cases}x=0 \\ y=-4.\end{cases}}\)
  3. Sprawdzamy warunek dostateczny, tj. czy wyznaczone punkty spełniają poniższą nierówność:
    \(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)_{(x_{0},y_{0})}-\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right)^{2}_{(x_{0},y_{0})}>0.}\)
    W naszym przypadku jest to:
    \(\displaystyle{ 36x^{2}-(6y+12)^{2}>0}\)
    \(\displaystyle{ \begin{array}{rr}(-2,-2):&\\& 36\cdot(-2)^{2}-(6\cdot(-2)+12)^{2}>0 \\ &144>0\end{array}}\)
    Nierówność spełniona - w tym punkcie jest ekstremum.

    \(\displaystyle{ \begin{array}{rr}(0,0):&\\& 36\cdot(0)^{2}-(6\cdot(0)+12)^{2}>0 \\ &-144>0\end{array}}\)
    Sprzeczność - w tym punkcie nie ma ekstremum.

    \(\displaystyle{ \begin{array}{rr}(2,-2):&\\& 36\cdot 2^{2}-(6\cdot 2+12)^{2}>0 \\ &144>0\end{array}}\)
    Nierówność spełniona - w tym punkcie jest ekstremum.

    \(\displaystyle{ \begin{array}{rr}(0,-4):&\\& 36\cdot 0^2 -(6\cdot (-4)+12)^{2}>0 \\ & -144>0\end{array}}\)
    Sprzeczność - w tym punkcie nie ma ekstremum.
  4. Badamy z jakimi ekstremami mamy do czynienia w \(\displaystyle{ (-2,-2)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,-2)}\) za pomocą znaku drugiej pochodnej:
    • \(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)_{(-2,-2)}=6\cdot (-2)=-12\,\longrightarrow\,}\)maksimum lokalne
    • \(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)_{(2,-2)}=6\cdot 2=12\,\longrightarrow\,}\)minimum lokalne
  5. Podsumowanie: Funkcja \(\displaystyle{ f}\) posiada maksimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ (-2,-2)}\) oraz minimum lokalne w \(\displaystyle{ (2,-2).}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zablokowany