Matematyka.pl

Od dawna frapuje mnie następujące zagadnienie: Załóżmy, ze pojazd (np statek kosmiczny) porusza się w próżni, tak że opory ruchu są zaniedbywalne. Silnik odrzutowy pracuje w jednostajny sposób, spalając cały czas taką samą ilość paliwa w jednostce czasu. Przypuszczam, zę pojazd będzie poruszał się ze stałym przyspieszeniem. Energia kinetyczna rośnie do kwadratu prędkości. Zatem energia zawarta w spalonym paliwie będzie w każdej sekundzie taka sama, a uzyskiwana przez statek enrgia kinetyczna będzie rosłą wykładniczo. Czy dojdzie do tego, ze w kolejnej sekundzie wzrost energii kinetyczniej statku będzie większy niż energia zawarta w paliwie zużytym w tej sekundzie?

Przemek7 pisze:Energia kinetyczna rośnie do kwadratu prędkości. Zatem energia zawarta w spalonym paliwie będzie w każdej sekundzie taka sama, a uzyskiwana przez statek energia kinetyczna będzie rosłą wykładniczo. Czy dojdzie do tego, ze w kolejnej sekundzie wzrost energii kinetycznej statku będzie większy niż energia zawarta w paliwie zużytym w tej sekundzie?

Jest proporcjonalna i liniowo.

Nie dojdzie.

W takim zadaniu dobrze jest uwzględnić to, że masa pojazdu maleje (

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_Mieszczerskiego

,

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Cio%C5%82kowskiego

).

Edit:
Było błędnie: Jest proporcjonalna i kwadratowo.

Mogę prosić o rozwinięcie odpowiedzi: Dlaczego nie dojdzie, skoro paliwa zużywa się tyle samo w jednostce czasu, a energia rośnie do kwadratu? Rozważam tutaj nie prawidziwy statek kosmiczny, który składa się w większości z paliwa, tyllko hipotetyczny, gdzie wagę paliwa mozna zaniedbać.

Już pisałem, że energia nie rośnie do kwadratu prędkości, tylko jest proporcjonalna do kwadratu prędkości.
Nie dojdzie ze względu na zasadę zachowania energii.
Masy paliwa nie można zaniedbać, bo napęd rakietowy jest realizacją zasady zachowania pędu, a nie ma pędu bez masy.

Te trzy punkty są dla mnie zrozumiałe.

Musze zapytać inaczej: Rozważmy taki przypadek: wymyślono silnik który jako paliwo używa antymaterii, która jest bardzo wydajna energetycznie. Nie emituje gazów odrzutowych, tylko promieniowanie np światło. Jesli statek ma masę \(\displaystyle{ 1}\) tony, to ile trzeba mieć energii zawartej w paliwie (co najmniej!-czyli zakładając \(\displaystyle{ 100\%}\) sprawnosc silnika- to dla uproszczenia), zeby nadać mu \(\displaystyle{ \Delta V=1m/s}\)?. \(\displaystyle{ 500 J}\) ?
A \(\displaystyle{ \Delta V=100 m/s}\)? \(\displaystyle{ 5}\) Czy \(\displaystyle{ 50.000 J}\)? Czy \(\displaystyle{ 5.000.000 J}\) ?.

Przemek7 pisze:Rozważmy taki przypadek: wymyślono silnik który jako paliwo używa antymaterii, która jest bardzo wydajna energetycznie. Nie emituje gazów odrzutowych, tylko promieniowanie np światło.

Żeby zanihilować antymaterię, potrzebujemy materii. Jedno i drugie też ma masę, tak jak zwykłe paliwo. Poza tym za dużo science fiction, anihilacja aż taka super energetycznie nie jest...

Jesli statek ma masę \(\displaystyle{ 1}\) tony, to ile trzeba mieć energii zawartej w paliwie (co najmniej!-czyli zakładając \(\displaystyle{ 100\%}\) sprawnosc silnika- to dla uproszczenia), zeby nadać mu \(\displaystyle{ \Delta V=1m/s}\)?.

\(\displaystyle{ \Delta E_k=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=\frac{m}{2}\Delta v(2v_1+\Delta v)}\)

\(\displaystyle{ v_1}\) to prędkość od której liczysz przyrost. Niestety bez tej informacji wydatku energetycznego nie obliczysz - zależy on od prędkości w danej chwili. Im większa prędkość tym więcej energii potrzebujemy na jej zwiększenie (niektórzy uważają, że takie coś to tylko w teorii względności występuje i się dziwią co to tam za dziwy są... newtonowska energia aż tak bardzo nie różni się od relatywistycznej). Nie mam natomiast zielonego pojęcia skąd wziąłeś to:

Czy dojdzie do tego, ze w kolejnej sekundzie wzrost energii kinetyczniej statku będzie większy niż energia zawarta w paliwie zużytym w tej sekundzie?

albo to:

Zatem energia zawarta w spalonym paliwie będzie w każdej sekundzie taka sama, a uzyskiwana przez statek enrgia kinetyczna będzie rosłą wykładniczo.

Energia kinetyczna uzyskiwana w czasie każdej sekundy będzie dokładnie taka sama (przy założeniach o jednostajnym spalaniu). Nie mieszaj energii kinetycznej z prędkością. Co więcej jeśli przyrost energii jest stały, to z całą pewnością ruch nie będzie jednostajnie przyspieszony. Zakładając, że masa będzie stała (co jest oczywiście założeniem kompletnie bezsensownym) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\textsf{d}E_k}{\textsf{d}t}=mva}\),
czyli przyspieszenie:
\(\displaystyle{ a(t)=\frac{1}{mv(t)}\frac{\textsf{d}E_k}{\textsf{d}t}}\)
jest odwrotnie proporcjonalne do prędkości, bo szybkość zmian energii kinetycznej \(\displaystyle{ \frac{\textsf{d}E_k}{\textsf{d}t}}\) jest stała.

Myślę, że już zrozumiałem to zagadnienie, z dużą pomocą Waszych wypowiedzi, za które bardzo dziękuję.
Powiem na takim przykładzie: czytałem że sonda New Horizons waży około 450 kg, Ma 77 kg paliwa, co umożliwia zmianę prędkości o 290 m/s. Można oszacować ile, energii zawiera 77 kg paliwa. Można też wyliczyć, ile wynosi zmiana energii kinetycznej sondy pomiędzy 0 m/s a 290 m/s. albo pomiędzy 15 km/s a 15,29 km/s albo pomiędzy 50 km/s a 50,29 km/s, Prędkość zależy zresztą od układu odniesienia. Przyjmowałem, ze masa sondy jest stała, i zyskuje ona energię kinetyczną, a przy odpowiednio dużej prędkości ten przyrost jest większy niż energia zawarta w paliwie. Mój błąd polegał na tym, że przyjmowałem stała masę sondy, a zapomniałem, że jednocześnie energia kinetyczna paliwa wyrzuconego przez silnik zmniejsza się w układzie odniesienia, w którym wzrasta prędkosc sondy, tak ze cała energia układu zapewne jest zachowana.

Matematyka.pl

Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Re: Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Re: Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa

Wzrost energii kinetycznej a zużycie paliwa