Wykazać, że funkcja posiada funkcje odwrotna

[gutok]

Wykazać, że funkcja posiada funkcje odwrotna i wyznaczyć ją

\(\displaystyle{ f(x) = x\left| x\right|}\)

[Jan Kraszewski]

Jak rozumiem, \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\).

Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Może w tym pomóc inne zapisanie wzoru, bez wartości bezwzględnej.

JK

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ f(x) =x \left| x\right| = x^2 sgn(x)}\)
Szukasz teraz takiej funkcji, że \(\displaystyle{ g(x^2 sgn(x)) = x}\)

[Jan Kraszewski]

No nie wiem, czy wprowadzenie funkcji signum ułatwia sprawę...

JK

[PoweredDragon]

Funkcja signum jest w podręcznikach gimnazjalnych, ma prostą i jasną definicję. Przy skorzystaniu z \(\displaystyle{ x = sgn(x) \left| x\right|}\) zadaie jest zrobione od razu

[Jan Kraszewski]

Zobaczymy, co na to gutok...

JK

[gutok]

Z samym "odwróceniem" funkcji chyba sobie poradze, nie jestem pewny jak wykazać różnowartościowość i surjekcje

zrobiłem tak
zakładam, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest 1-1 \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists x_{1},x_{2} \in X \hspace{3} x_{1} \neq x_{2} \hspace{3} f(x_{1}) = f(x_{2})}\)

i opuszcałem wartość bezwzględna
1) \(\displaystyle{ x_{1} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x_{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}^2 = x_{2}^2}\)
\(\displaystyle{ (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}}\) - sprzeczne z zał - \(\displaystyle{ f}\) jest 1-1
\(\displaystyle{ x_{1}=-x_{2}}\) dla \(\displaystyle{ x_{1} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \hspace{3}x_{2} \ge 0}\) tez sprzeczne

i zrobilem tak na wszystkie 4 przypadki, ale to chyba bez sensu bo sie wszystko powtarza, jakies rady?

[Jan Kraszewski]

zakładam, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest 1-1 \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists x_{1},x_{2} \in X \hspace{3} x_{1} \neq x_{2} \hspace{3} f(x_{1}) = f(x_{2})}\)

Lepiej nie używać samych znaczków, jak nie umie się tego zrobić poprawnie. Gdybyś napisał to samo zdaniem w języku polskim, byłoby OK, a tak nie jest.

i opuszcałem wartość bezwzględna
1) \(\displaystyle{ x_{1} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x_{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}^2 = x_{2}^2}\)
\(\displaystyle{ (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}}\) - sprzeczne z zał - \(\displaystyle{ f}\) jest 1-1
\(\displaystyle{ x_{1}=-x_{2}}\) dla \(\displaystyle{ x_{1} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \hspace{3}x_{2} \ge 0}\) tez sprzeczne

i zrobilem tak na wszystkie 4 przypadki, ale to chyba bez sensu bo sie wszystko powtarza, jakies rady?

Dlaczego bez sensu? Można tak robić, choć akurat robisz to dość nieefektywnie. Dużo prościej byłoby zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ x_{1}^2 = x_{2}^2,}\) to \(\displaystyle{ |x_{1}| = |x_{2}|}\) i rozpatrzyć trzy przypadki: 1. \(\displaystyle{ x_1,x_2\ge 0}\), 2. \(\displaystyle{ x_1,x_2< 0}\), 3. \(\displaystyle{ x_1\ge 0,x_2<0}\). Dodatkowo nie warto robić tego dowodu nie wprost, lepiej wprost, z definicji:

\(\displaystyle{ (\forall x_1,x_2)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2),}\)

masz wtedy mniej pisania.

JK

[a4karo]

A mogę mieć sugestię, żeby rozpatrzyć te funkcję osobno na \(\displaystyle{ [0,infty)}\) i na \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\) i wyciągnąć dość prosty wniosek?

[Jan Kraszewski]

Też można. Sposobów jest bez liku.

JK

[gutok]

Tak chyba będzie szybciej

rozpatruje przedział \(\displaystyle{ [0;infty)}\)
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1-x_2)(x_1+x_2) = 0 \Leftrightarrow x_1=x_2 \vee x_1=-x_2}\)
obie możliwości są wykluczone przez zalożenie \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\) oraz przez przedział na którym działam
zatem \(\displaystyle{ f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)}\)

I analogicznie dla przedziału \(\displaystyle{ (-\infty;0)}\)
Może tak być?

Lepiej nie używać samych znaczków, jak nie umie się tego zrobić poprawnie. Gdybyś napisał to samo zdaniem w języku polskim, byłoby OK, a tak nie jest.

Co było w tamtym zapisie niepoprawnie?

[Jan Kraszewski]

Może tak być?

To za mało. Pokazałeś tylko, że na każdym z tych przedziałów funkcja jest różnowartościowa. Zauważ, że dokładnie to samo można pokazać o funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).

Co było w tamtym zapisie niepoprawnie?

Zapis

\(\displaystyle{ \exists x_{1},x_{2} \in X \hspace{3} x_{1} \neq x_{2} \hspace{3} f(x_{1}) = f(x_{2})}\)

ma zupełnie niepoprawną składnię. Poprawnie jest tak:

\(\displaystyle{ \exists x_{1},x_{2} \in X \red (\black x_{1} \neq x_{2} \red\land\black f(x_{1}) = f(x_{2})\red )\black.}\)

Ale dużo lepiej jest napisać "istnieją \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(x_{2})}\)".

JK

[gutok]

Jak więc pokazać, że cała funkcja jest różnowartościowa gdy jest różnowartosciowa na dwóch przedziałach? Gdybym napisał, że zbiór wartości pierwszej "połówki" jest różny od zbioru wartosci drugiej to byłoby poprawnie?

oraz jak tutaj wykazać różnowartościowość?

[Jan Kraszewski]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x\ge 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)\ge 0}\), a jeśli \(\displaystyle{ x< 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)< 0}\).

Tak naprawdę w ten sam sposób możemy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca, co jest silniejszą własnością od różnowartościowości.

JK

[gutok]

Dziekuje za odpowiedź, ostatnie pytanie - jak wykazać, że funkcja jest na?