Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
419862391432
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 24 wrz 2017, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 64 razy

Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

Post autor: 419862391432 » 23 lis 2017, o 17:16

To są dwa zadania po 10 pkt z matematycznej części olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH". Jakie tematy trzeba zrobić, żeby umieć to rozwiązać i mógłby ktoś napisać od czego zacząć zrobienie któregoś z tych zadań?

1. Udowodnij, że spośród dowolnych pięciu punktów na płaszczyźnie,
z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej, można wybrać trzy
punkty, które są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego.

2. Ile jest trójek \(\displaystyle{ ( x_{1} , x _{2} , x _{3})}\) liczb całkowitych niedodatnich spełniających
równanie \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + 37 = 0}\)?
Ostatnio zmieniony 23 lis 2017, o 17:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Re: Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

Post autor: kropka+ » 24 lis 2017, o 01:55

2. kombinatoryka - kombinacje bez powtórzeń

Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

Post autor: Biel124 » 24 lis 2017, o 07:54

1 rozwiązałem robiąc pięciokąt i rozważając przypadki (kiedy jest wypukły, wklęsły itp...)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2017, o 17:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Na wklęsłego pięciokota to obrońcy praw zwierząt mogą się oburzyć...

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 476
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 112 razy

Re: Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

Post autor: Belf » 24 lis 2017, o 09:38

2)

Mamy równanie: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-37}\).

Skoro te trzy liczby są liczbami całkowitymi niedodatnimi , to musi być:\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=37}\),
gdzie:\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi.

Szukamy zatem ilości rozwiązań ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych,

a takich rozwiązań jest : \(\displaystyle{ {3+37-1 \choose 37}}\)

Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 21 razy

Re: Dowodzenie i równanie - Diamentowy Indeks AGH

Post autor: xxDorianxx » 24 lis 2017, o 17:10

Biel124, Ja tak samo

ODPOWIEDZ