Rozwiąż równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 22 lis 2017, o 15:24

Rozwiąż równania:

\(\displaystyle{ t^2y''-ty'+y= \frac{\ln t}{t} +\frac{t}{\ln t}}\)
\(\displaystyle{ (2t+3)^3y'''+3(2t+3)y'-6y=0}\)
\(\displaystyle{ y''+y'-2y=te^t+\frac{1}{te^t}}\)
Ostatnio zmieniony 22 lis 2017, o 15:59 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7165
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2850 razy

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 22 lis 2017, o 16:08

\(\displaystyle{ t^2y''-ty'+y= \frac{\ln t}{t} +\frac{t}{\ln t}}\)
równanie Eulera gdzie \(\displaystyle{ y=t^r}\)

\(\displaystyle{ (2t+3)^3y'''+3(2t+3)y'-6y=0}\)
równanie Eulera gdzie \(\displaystyle{ y=(2t+3)^r}\)

\(\displaystyle{ y''+y'-2y=te^t+\frac{1}{te^t}}\)
równanie liniowe rzędu drugiego+ uzmiennianie stałych

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 22 lis 2017, o 20:32

A czy to równanie Eulera: \(\displaystyle{ t^2y''-ty'+y= \frac{\ln t}{t} +\frac{t}{\ln t}}\)
z racji że po prawej stronie mam 2 składniki rozbijam na 2 etapy?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7165
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2850 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 22 lis 2017, o 20:56

Nie. Postępujesz standardowo: wpierw równanie jednorodne i jego rozwiązanie ogólne, później rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidywaniem (nie w tym przypadku) lub uzmiennianiem stałych.

\(\displaystyle{ t^2y''-ty'+y=0\\ r(r-1)-r+1=0\\ (r-1)^2=0\\ y_o=C_1t+C_2t\ln t\\ \begin{cases} C_1't+C_2't\ln t =0\\ C_1'+C_2'(\ln t+1)= \frac{\ln t}{t} + \frac{t}{\ln t} \end{cases}}\)
pozostaje wyliczyć stałe z powyższego układu.

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: mat06 » 22 lis 2017, o 21:44

Otrzymuję jakieś koszmarne całki typu: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\ln ^2t+t^2}{\ln t+1}}\)
Tak powinno być?
Ostatnio zmieniony 23 lis 2017, o 18:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7165
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2850 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 22 lis 2017, o 21:52

Mi wychodzi układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_1'= \frac{-\ln^2t}{t}-t \\ C_2'= \frac{\ln t}{t}+ \frac{t}{\ln t} \end{cases}}\)
Niestety
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{t}{\ln t} \mbox{d}t}\)
jest nieelemtarna.-- 23 lis 2017, o 10:11 --Mogę przedstawić problematyczny fragment drugiej stałej jako funkcję całkowo - wykładniczą lub całkować rozwinięcie w szereg, jednak chyba nie to ma być celem rozwiązywania równań różniczkowych.
A może wykładowca właśnie tego oczekuje?

Z ciekawości przeliczyłem kolejne przykłady:
Drugie równanie (jednorodne) ma ładny wynik:
\(\displaystyle{ y=C_1(2t+3)+C_2 \sqrt{2t+3}+ C_3 \sqrt{(2t+3)^3}}\)
ale w trzecim znów jest problem z nieelementarnością całek pojawiających się przy liczeniu stałych ( które mogę przedstawić jako funkcję całkowo - wykładniczą lub całkować ich rozwinięcie w szereg ):
\(\displaystyle{ y_o=C_1e^t+C_2e^{-2t}}\)
po uzmiennieniu stałych mam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_1= \frac{1}{3} \int_{}^{}(t+ \frac{e^{-2t}}{t} ) \mbox{d}t \\ C_2= \frac{-1}{3} \int_{}^{}(te^{3t}+ \frac{e^{t}}{t} ) \mbox{d}t \end{cases}}\)

A może coś źle przepisałeś?
Czy są odpowiedzi do tych przykładów?

ODPOWIEDZ