Matematyka.pl

Dobry, mam mały kłopot z zadaniem.

Niech \(\displaystyle{ T:(\mathbb{R}^2, ||\cdot ||_2) \ni (x,y) \rightarrow T(x,y)=(x-2y, x+2y) \in (\mathbb{R}^2, ||\cdot ||_1)}\).

Należy wyznaczyć normę operatora \(\displaystyle{ T}\). Do zadania podszedłem w ten sposób, że najpierw ograniczam normę \(\displaystyle{ ||T||}\) od dołu korzystając z definicji:

\(\displaystyle{ ||T||=\inf \{ M>0:||Tx||\le M||x||\}}\), czyli u nas \(\displaystyle{ ||T||=\inf \{ M>0:||T(x,y)||_1\le M||(x,y)||_2\}}\),

a następnie od góry z definicji:

\(\displaystyle{ ||T||=\sup_{ ||x||\le1} \{ ||Tx||\}=\sup_{||x||=1} \{ ||Tx||\}}\), czyli w naszym przypadku \(\displaystyle{ ||T||=\sup_{||(x,y)||_2\le1} \{ ||T(x,y)||_1\}}\).

Tak więc:
\(\displaystyle{ ||T(x,y)||_1=|x-2y|+|x+2y| \le 2|x| + 4|y| \le \sqrt{2^2+4^2} \cdot \sqrt{x^2+y^2}=\\ \\ =\sqrt{20} \cdot ||(x,y)||_2.}\)

Stąd \(\displaystyle{ ||T|| \le \sqrt{20}}\), przy czym przy pierwszym przejściu skorzystałem z nierówności trójkąta dla modułu, a przy drugim z nierówności Schwarza.

Teraz pojawia się problem, bo powinienem wybrać jakąś parę \(\displaystyle{ (x,y)}\) taką, że \(\displaystyle{ ||(x,y)||_2=1}\) oraz by \(\displaystyle{ ||T(x,y)||_1=\sqrt{20}}\), tak, żeby stąd wywnioskować, że \(\displaystyle{ ||T|| \ge \sqrt{20}}\) i razem z poprzednim dostać, że \(\displaystyle{ ||T||=\sqrt{20}}\). Być może istnieje lepsze ograniczenie od dołu, dlatego nie mogę znaleźć przykładu? Byłby ktoś w stanie pomóc?

Trzeba by się zastanowić, kiedy zachodzą równości w poszczególnych nierównościach.
W nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej: \(\displaystyle{ |x+y| \le |x|+|y|,\ x,y \in \RR}\) równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ xy\ge 0}\), zaś analogicznie w nierówności
\(\displaystyle{ |x-y|\le |x|+|y|}\) - dokładnie wtedy gdy \(\displaystyle{ xy\le 0}\). Więc aby zaszło
\(\displaystyle{ |x-2y|+|x+2y|=2|x|+4|y|}\) w rzeczywistych, musi być \(\displaystyle{ x=0 \vee y=0}\).
Natomiast w nierówności Schwarza (piszę dla przestrzeni nad \(\displaystyle{ \RR}\), inaczej jeszcze w jednym miejscu trza moduł wstawić) mamy równość, tj. \(\displaystyle{ \|u\|^2\|v\|^2=\left( \left\langle u,v\right\rangle \right)^2}\) dokładnie wtedy, gdy wektory \(\displaystyle{ u, v}\) są liniowo zależne (jeden jest krotnością drugiego). Ale wektor \(\displaystyle{ (0, \text{cokolwiek niezerowego })}\) nie może być krotnością wektora \(\displaystyle{ (2,4)}\) ani na odwrót, podobnie z \(\displaystyle{ (\text{ cokolwiek niezerowego }, 0)}\).
Zatem przypadku równości nie osiągniemy, czyli albo szacowanie było za grube, albo norma nie jest realizowana przez żaden wektor.

Moim zdaniem tu akurat zachodzi to pierwsze, czyli szacowanie da się poprawić. Mianowicie zachodzi:
\(\displaystyle{ |a+b|+|a-b|=\max\left( 2|a|, 2|b|\right)}\) - przelicz to sobie na palcach.
Zatem
\(\displaystyle{ |x+2y|+|x-2y|=\max (2|x|, 4|y|)\le 4\sqrt{x^2+y^2}}\)-- 22 lis 2017, o 13:17 --Mamy też wektor \(\displaystyle{ (0,1)}\), dla którego \(\displaystyle{ \|(0,1)\|_2=1}\) i powyższa nierówność staje się równością.