Witam.
Zastanawiam się, czy, chcąc pokazać, że ciąg nie ma granicy, wystarczy pokazać, że zawiera dwa podciągi zbieżne do innych granic. Przykładowo, rozważmy taki ciąg
\(\displaystyle{ a_n = (-1)^{n+1}}\)
Biorąc podciąg liczb parzystych i nieparzystych, okazuje się, że są one zbieżne do innej granicy. Czy jest to wystarczający argument, aby wnieść o rozbieżności tego ciągu, czy trzeba jeszcze ten fakt udowodnić?
Uzasadnić, że ciąg nie ma granicy
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
Re: Uzasadnić, że ciąg nie ma granicy
Tak, to dobry dowód. Na tej samej obserwacji można oprzeć prostsze rozumowanie. Niech \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (-1)^n\to a}\). Oczywiście \(\displaystyle{ a\in\RR}\), gdyż ciąg jest ograniczony. Dlatego dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<(-1)^n-a<\frac{1}{2}.}\) Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych mamy \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}<a<-\frac{1}{2}}\), a dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}}\). Obie nierówności przeczą sobie, więc \(\displaystyle{ a}\) nie istnieje.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4123
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1412 razy
Re: Uzasadnić, że ciąg nie ma granicy
Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) miał by granicę to \(\displaystyle{ \left| a_n-a_{n-1}\right| \rightarrow 0}\) co jest niemożliwe ponieważ \(\displaystyle{ \left| (-1)^{n+1}-(-1)^n\right|=2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 486
- Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 8 razy
Re: Uzasadnić, że ciąg nie ma granicy
Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Więc tak, jeżeli znajdziesz dwa podciągi jakiegoś ciągu zbieżne do różnych granic, to nie może być on zbieżny.
Więc tak, jeżeli znajdziesz dwa podciągi jakiegoś ciągu zbieżne do różnych granic, to nie może być on zbieżny.