przekatna

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6485
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

przekatna

Post autor: mol_ksiazkowy » 24 wrz 2007, o 13:50

Spośród wierzchołków sześciokata foremnego o boku jednostkowym wybrano losowo dwa różne w1 i w2. Odległość między nimi jest zmienna losowa. Obliczyć jej wartosc oczekiwana. czy mozna znalezć uogolnienie na n-kat...?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

przekatna

Post autor: max » 24 wrz 2007, o 17:46

Przejdę od razu do przypadku ogólnego:

W n-kącie foremnym będziemy mieli, przy ustalonym \(\displaystyle{ w_{1}}\), \(\displaystyle{ \left[\frac{n}{2}\right]}\) możliwych różnych odległości (przy czym dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego każda z tych odległości odpowiada dwóm różnym \(\displaystyle{ w_{2}}\), a dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego, każda za wyjątkiem największej, dla której będzie tylko jeden możliwy drugi wierzchołek).
Ustawiając te odległości w ciąg rosnący \(\displaystyle{ (d_{m})}\) i korzystając z twierdzenia sinusów nietrudno otrzymać:
\(\displaystyle{ \frac{d_{m}}{\sin \frac{m\pi}{n}} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{n}}\\
d_{m} = \frac{\sin \frac{m\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}}\)

Dalej rozpatrujemy dwa przypadki - pierwszy: \(\displaystyle{ n =2k}\), wtedy:
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{m = 1}^{k - 1}\frac{2d_{m}}{2k - 1} + \frac{d_{k}}{2k - 1}=\\
= \frac{2}{2k - 1}\cdot \frac{\sin \frac{(k - 1)\pi}{4k}\cdot \sin \frac{k\pi}{4k}}{\sin \frac{\pi}{2k}\cdot \sin \frac{\pi}{4k}} + \frac{\sin \frac{k \pi}{2k}}{(2k - 1)\sin \frac{\pi}{2k}} = \\
=\frac{\sqrt{2}\sin \frac{(k - 1)\pi}{4k}}{(2k - 1)\sin \frac{\pi}{2k}\cdot \sin \frac{\pi}{4k}} + \frac{1}{(2k - 1)\sin \frac{\pi}{2k}}}\)

i drugi: \(\displaystyle{ n = 2k + 1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{m = 1}^{k} \frac{d_{m}}{k} = \frac{\sin \frac{k\pi}{2(2k + 1)}\cdot \sin \frac{(k + 1)\pi}{2(2k + 1)}}{k\cdot \sin \frac{\pi}{2k + 1}\cdot \sin \frac{\pi}{2(2k + 1)}}}\)

(mam nadzieję, że nie popsułem nigdzie rachunków)

Po drodze skorzystałem z wzoru na sumę sinusów:
\(\displaystyle{ \sum_{l = 1}^{j}\sin lx = \frac{\sin \frac{jx}{2}\sin \frac{(j + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}}\) (gdy mianownik się nie zeruje)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

przekatna

Post autor: jovante » 24 wrz 2007, o 20:29

Ponieważ Max podał już rozwiązanie i zakładam, że jest ono poprawne (nie chce mi się liczyć) swój pomysł na rozwiązanie podam w skrócie.

Korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym dla warunkowej wartości oczekiwanej, z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej oraz ze wzoru na sumę sinusów w postaci, którą podał Max mamy:

\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{n}}\left|1-(\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n})\right|=\frac{1}{(n-1)\sin\frac{\pi}{n}}\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\\=\frac{1}{(n-1)\sin\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi(n+1)}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{\cot\frac{\pi}{2n}}{(n-1)\sin\frac{\pi}{n}}}\)

ODPOWIEDZ