Podobieństwo - zadania

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Neofp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 11 maja 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów

Podobieństwo - zadania

Post autor: Neofp » 24 wrz 2007, o 13:39

Witam, proszę o rozwiązanie tych trzech zadań.

1. W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB || CD}\), \(\displaystyle{ |AB| =14cm}\), \(\displaystyle{ |DC|=3.5 cm}\), \(\displaystyle{ |AD|=6cm}\), przedłużono ramiona \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) do przecięcia w punkcie. Oblicz \(\displaystyle{ |DE|}\).

2. W trapezie równoramiennym długość wysokości wynosi \(\displaystyle{ 14 cm}\), przekątne są do siebie prostopadłe, a ich punkt wspólny dzieli każdą w stosunku \(\displaystyle{ 1:3}\). Oblicz obwód trapezu.

3. W równoległoboku, którego obwód jest równy \(\displaystyle{ 48 cm}\), stosunek wysokości wynosi \(\displaystyle{ 3:5}\). Oblicz długości boków tego równoległoboku.
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2013, o 07:25 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Podobieństwo - zadania

Post autor: wb » 24 wrz 2007, o 14:13

1.

\(\displaystyle{ x=|DE| \\ \frac{x}{3,5}=\frac{x+6}{14} \\ x=2}\)

[ Dodano: 24 Września 2007, 14:28 ]
2.

a - podstawa górna,
3a - podstawa dolna,
c - ramiona,
h - wysokość trójkąta jaki tworzy podstawa górna z odcinkami przekątnych do ich punktu przecięcia,
14-h - wysokość trójkąta jaki tworzy podstawa dolna z odcinkami przekątnych do ich punktu przecięcia,

\(\displaystyle{ \frac{h}{a}=\frac{14-h}{3a} \ \ \ /\cdot a \\ 3h=14-h \\ h=3,5}\)

Ponieważ przekatne przecinają się pod kątem prostym więc:
\(\displaystyle{ a=2h=7 \ \ \ , \ \ \ 3a=21}\)

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ c^2=14^2+(\frac{21-7}{2})^2 \\ c=7\sqrt5}\)

Obwód wobec tego już łatwo.....

[ Dodano: 24 Września 2007, 14:34 ]
3.

3h - krótsza wysokość,
5h - dłuższa wysokość

Z równości pól:

\(\displaystyle{ 5ha=3hb \ \ \ /:h \\ b=\frac{5a}{3}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b=\frac{5a}{3}\\ 2a+2b=48 \end{array}}\)

Z rozwiązania tego układu otrzymujemy:
a=9, b=15.

stokrotka1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 1 lut 2013, o 11:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 15 razy

Podobieństwo - zadania

Post autor: stokrotka1992 » 8 wrz 2013, o 20:26

Temat dotyczy podobieństwa. Gdzie w zadaniu 2 użyte jest podobieństwo trójkątów?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Podobieństwo - zadania

Post autor: piasek101 » 8 wrz 2013, o 20:41

2) Trójkąt górny i dolny (klasyczny rysunek) są podobne i jakieś równanie tam z tego jest.

stokrotka1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 1 lut 2013, o 11:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 15 razy

Podobieństwo - zadania

Post autor: stokrotka1992 » 9 wrz 2013, o 16:30

Wiem, że są podobne i umiem to udowodnić. Ale żadne równanie tutaj bezpośrednio z tego nie wynika, a całe zadanie jest rozwiązane w oparciu o tw. Pitagorasa, bez zastosowania podobieństwa. Mógłby ktoś mi pokazać jak zastosować fakt, że te trójkąty są podobne?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Podobieństwo - zadania

Post autor: piasek101 » 9 wrz 2013, o 20:39

A to \(\displaystyle{ \frac{h}{a}=\frac{14-h}{3a}}\) nie jest z podobieństwa ?

Piotrek172
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Podobieństwo - zadania

Post autor: Piotrek172 » 19 wrz 2013, o 22:40

Sorry ze odkopuje ale moge zapytać skąd to się wzięło?
wb pisze:

2.


Ponieważ przekatne przecinają się pod kątem prostym więc:
\(\displaystyle{ a=2h=7 \ \ \ , \ \ \ 3a=21}\) <---- Jest takieś twierdzenie dot przekątnych w trapezie?


[ Dodano: 24 Września 2007, 14:34 ]

SpokoGuy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 wrz 2013, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 1 raz

Podobieństwo - zadania

Post autor: SpokoGuy » 19 wrz 2013, o 23:43

Z tego co zrozumialem, to \(\displaystyle{ a}\) można wyznaczyć z Pitagorasa, z trójkąta który jest na górze.

Narysuj sobie ten trapez, przekątne i te 2 wysokości górną i dolną. Górna wysokość oraz przekątne(do punktu przecięcia) tworzą trójkąt prostokątny(podane w zadaniu że kąt prosty) o kątach \(\displaystyle{ 90, 45, 45}\). Ta górna wysokość dzieli nasz rozważany trójkąt na dwa podobne, i \(\displaystyle{ h = 3,5}\) równa się \(\displaystyle{ h = \frac{1}{2} a}\). Stąd \(\displaystyle{ a = 7}\)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2013, o 09:24 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Piotrek172
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Podobieństwo - zadania

Post autor: Piotrek172 » 22 wrz 2013, o 18:58

SpokoGuy pisze:Z tego co zrozumialem, to \(\displaystyle{ a}\) można wyznaczyć z Pitagorasa, z trójkąta który jest na górze.

Narysuj sobie ten trapez, przekątne i te 2 wysokości górną i dolną. Górna wysokość oraz przekątne(do punktu przecięcia) tworzą trójkąt prostokątny(podane w zadaniu że kąt prosty) o kątach \(\displaystyle{ 90, 45, 45}\). Ta górna wysokość dzieli nasz rozważany trójkąt na dwa podobne, i \(\displaystyle{ h = 3,5}\) równa się \(\displaystyle{ h = \frac{1}{2} a}\). Stąd \(\displaystyle{ a = 7}\)

Tak tylko skąd wiadomo ze h=1/2a jak z podobieństwa i proporcji tych dwóch trójkątów nie wychodzi nic


Edit: Dobra juz mam Sory ze odkopałem

ODPOWIEDZ