Objetosc zbioru

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
slomi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 wrz 2007, o 13:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZMC
Podziękował: 4 razy

Objetosc zbioru

Post autor: slomi » 24 wrz 2007, o 13:24

Prosze o pomoc w rozwiazaniu tego zadania:
Znalezc objetosc zbioru \(\displaystyle{ A= ft\lbrace (x,y,z) \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 qslant e^{-|z|} (1+|z|) \right\rbrace}\)

Zapoznaj się dokładniej z http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2007, o 15:18 przez slomi, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Objetosc zbioru

Post autor: scyth » 24 wrz 2007, o 14:35

Wykresem jest "butelka z nieskończoną szyjką"
Warto więc przejść na współrzędne walcowe i liczyć tylko w dodatniej części układku współrzędnych, a otrzymany wynik pomnożyć razy 8.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=r\cos\psi \\
y=r\sin\psi \\
z=h
\end{cases} \\
\psi ft(0,\frac{\pi}{2}\right), \ r ft(0,(1+h)e^{-h}\right), \ h (0, +\infty), \ |J|=r}\)


Dostajemy całkę:
\(\displaystyle{ \iiint_A dx dy dz = t\limits_0^{\frac{\pi}{2}} d \psi t\limits_0^{+\infty} dh t\limits_0^{(1+h)e^{-h}} r dr = \frac{\pi}{2} t\limits_0^{+\infty} ft(\frac{1}{2}\left((1+h)e^{-h}}\right)^2 \right) dh = \\ = \frac{\pi}{4} t\limits_0^{+\infty} ft((1+h)^2e^{-2h}\right) dh = \frac{\pi}{4} ft[-\frac{1}{4}e^{-2h}(2h^2+6h+5) \right]_0^{+\infty} = \frac{5\pi}{16}}\)

Zatem szukana objętość obszaru wynosi \(\displaystyle{ 2,5\pi}\).

ODPOWIEDZ