Matematyka.pl

obliczyc granice ciagu o wyrazie ogolnym


tresc zadania:
\(\displaystyle{ a_{n} = \Biggl ( \frac{n ^{2}+1 }{ n^{2} }\Biggr) ^{{n \choose 2}}}\) \(\displaystyle{ n \ge 2}\)


probwalam ze wzoru na liczbe e ale nic nie wiem co zrobic jak zostaje silnia
to do czego udalo sie dojsc to: \(\displaystyle{ e^{ \frac{1}{2(n-2)!} }}\)

\(\displaystyle{ {n \choose 2}= \frac{n!}{2 \cdot \left( n-2\right)! }= \frac{(n-2)!(n-1)n}{2\left( n-2\right)!}= \frac{n(n-1)}{2}}\)

Dlatego

\(\displaystyle{ \left( \frac{n^2+1}{n^2} \right)^{{n \choose 2}}=\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{n(n-1)}{2}}=\left( \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^{n^2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2n^2}} \rightarrow \sqrt{e}}\)