Znajdz gradient...

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
slomi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 wrz 2007, o 13:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZMC
Podziękował: 4 razy

Znajdz gradient...

Post autor: slomi » 24 wrz 2007, o 13:21

Mam problem z takim zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ f(x, y, z) = sin x \mbox{tg} \, (2y) +z^{ \ln(1+cos x)}}\) . Znalezc gradient funkcji f w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6} ,2 \right)}\)
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2007, o 15:20 przez slomi, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Znajdz gradient...

Post autor: scyth » 24 wrz 2007, o 13:37

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos x\tan 2y-\frac{z^{\ln(\cos x+1)}\ln z\sin x }{\cos x+1}\\
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2\sin x}{\cos^2 2y}\\
\frac{\partial f}{\partial z} =z^{\ln(\cos x+1)-1}\ln(\cos x+1)\\}\)


Zatem:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} ft(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},2\right) = 0-\frac{2^0\cdot\ln2\cdot1}{1}=-\ln2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} ft(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},2\right) =
\frac{2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=8 \\
\frac{\partial f}{\partial z} ft(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},2\right) = 0 \\
\nabla f ft(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},2\right) = [-\ln 2,8,0]}\)

slomi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 wrz 2007, o 13:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZMC
Podziękował: 4 razy

Znajdz gradient...

Post autor: slomi » 24 wrz 2007, o 15:54

Nie rozumiem jednej rzeczy - skad wziela sie 2 w mianowniku przy pochodnej po y ?? Nie powinno byc sinx/cos^2y ??

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Znajdz gradient...

Post autor: scyth » 24 wrz 2007, o 16:34

w liczniku jest 2 - jest to wynik pochodnej funkcji wewnętrznej (2y).

ODPOWIEDZ