[Liga maturalna] Seria 1 (24.09.07r.-30.09.07r.), wyniki

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 1 (24.09.07r.-30.09.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 24 wrz 2007, o 00:02

  1. Obliczyć drugi wyraz ciągu \(\displaystyle{ 3^{x_{1}}, 3^{x_{2}}, 3^{x_{3}},\ldots}\) wiedząc, że jest to ciąg geometryczny i że \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{11}=55}\) oraz \(\displaystyle{ x_{5}=4.}\) (5pkt.)
  2. Wykaż, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) różnych od zera i takich, że liczby \(\displaystyle{ a_{1}^{3}, a_{2}^{3}, a_{3}^{3}}\) tworzą ciąg arytmetyczny, spełniona jest równość:
    \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{1}^{2} +a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}} +\frac{1}{a_{2}^{2} +a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}}= \frac{2}{a_{1}^{2} +a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}}.}\)
    (5pkt.)
  3. Dane są wierzchołki trójkąta \(\displaystyle{ ABC:}\)
    \(\displaystyle{ A=(5, 8)\\ B=(-2,9)\\ C=(-4,5).}\)
    Sprawdź, czy punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych oraz środek koła opisanego na tym trójkącie leżą na jednej prostej? (5pkt.)
  4. W każdej z dziesięciu jednakowych urn \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2},\ldots ,U_{10}}\) znajduje się 10 kul, przy czym w urnie o numerze \(\displaystyle{ n}\) (\(\displaystyle{ 1 qslant n qslant 10}\)) jest \(\displaystyle{ n}\) kul białych i \(\displaystyle{ 10-n}\) kul czarnych. Sięgamy losowo do jednej z urn i losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej? (5pkt.)
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 30 września) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia
Ostatnio zmieniony 1 paź 2007, o 12:08 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 1 (24.09.07r.-30.09.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 1 paź 2007, o 00:24

Tabela wyników:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/5)} & \mbox{Zad. 4 (/5)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{altair3} & 5 & - & - & 5 & 10\mbox{pkt.}\,\,(50\%) \\
\mbox{luka52} & 5 & 4 & 2 & - & 11\mbox{pkt.}\,\,(55\%) \\
\mbox{paskuda} & 5 & - & 5 & 5 & 15\mbox{pkt.}\,\,(75\%) \\
\mbox{Sylwek} & 5 & 5 & 3 & 5 & 18\mbox{pkt.}\,\,(90\%) \\
\mbox{Szemek} & 5 & - & 4 & - & 9\mbox{pkt.}\,\,(45\%) \\
\hline\hline\end{array}}\)



Przykładowe rozwiązania:
  1. Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ 3^{x_{1}}, 3^{x_{2}}, 3^{x_{3}},\ldots}\) jest geometryczny, o ilorazie \(\displaystyle{ q}\), to ciąg \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2},\ldots}\) jest arytmetyczny, gdyż:
    \(\displaystyle{ \frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_{n}}}=q>0}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2,\ldots}\)
    Stąd \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_{n}=log_{3}{q}=r.}\)
    Ciąg \(\displaystyle{ \left(x_{n}\right)}\) spełnia więc wzór:
    \(\displaystyle{ x_{n}=x_{1}+(n-1)r.}\)
    Z warunków zadania otrzymujemy układ:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{2x_{1}+10r}{2}\cdot 11=55 \\ x_{1}+4r=4, \end{cases}}\)
    z którego wyznaczamy \(\displaystyle{ x_{1}=0, \ r=1}\), zatem \(\displaystyle{ x_{2}=1}\) i \(\displaystyle{ 3^{x_{2}}=3.}\)
  2. Z własności ciągu arytmetycznego wynika:
    \(\displaystyle{ r=a_{2}^{3}-a_{1}^{3}=a_{3}^{3}-a_{2}^{3},}\)
    skąd
    \(\displaystyle{ 2r =a_3^{3}- a_1^{3}.}\)
    Niech
    \(\displaystyle{ L=\frac{1}{a_{1}^{2} +a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}},}\)
    \(\displaystyle{ P=\frac{2}{a_{1}^{2}+a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}}.}\)
    Jeżeli \(\displaystyle{ r=0}\), to \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=a_{3}}\) i równość jaką mamy dowieść jest prawdziwa. Niech więc \(\displaystyle{ r\neq 0.}\) Tak więc liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) są parami różne i zgodnie z wzorem
    \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{x-y}{x^{3}- y^{3}}}\)
    mamy, że:
    \(\displaystyle{ L=\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{2}^{3}-a_{1}^{3}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{3}^{3}-a_{2}^{3}}=\frac{a_{3}-a_{1}}{r},}\)
    \(\displaystyle{ P=\frac{2(a_{3}-a_{1})}{a_{3}^{3}-a_{1}^{3}}=\frac{2(a_{3}-a_{1})}{2r}=\frac{a_{3}-a_{1}}{r},}\)
    \(\displaystyle{ L=P.}\)
  3. Niech \(\displaystyle{ B_{1},C_{1}}\) będą spodkami wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) na boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio. Równanie prostej \(\displaystyle{ AC}\) jest \(\displaystyle{ x-3y+19=0}\), zaś \(\displaystyle{ AB}\) jest \(\displaystyle{ x+7y-61=0}\). Z kolei liczymy równania prostych:
    \(\displaystyle{ BB_1:\quad 3x+y=3, \\ CC_1:\quad 7x-y+33=0.}\)
    Punkt \(\displaystyle{ W(-3,12)}\) jest punktem przecięcia wysokości. Równanie okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC:}\) \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+kx+ly+m=0}\). Punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) spełniają to równanie, co daje układ równań:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}5k+8l+m=-89 \\ -2k+9l+m=-85 \\ -4k+5l+m=-41.\end{cases}}\)
    Rozwiązując go otrzymamy, że \(\displaystyle{ k=-2, l=-10, m=1.}\) Równaniem okręgu jest więc \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=25.}\) Jego środek \(\displaystyle{ S(1,5),}\) prosta \(\displaystyle{ SW}\) jest opisana: \(\displaystyle{ 7x+4y=27.}\) Łatwo sprawdzić, ze punkt \(\displaystyle{ P\left(-\frac{1}{3},\frac{22}{3}\right),}\) który jest punktem przecięcia środkowych należy do prostej SW.
  4. Jak widać, prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(U_{n})}\) wylosowania każdej z dziesięciu urn \(\displaystyle{ U_{n}}\), \(\displaystyle{ n=1, 2,\ldots ,10}\) jest takie samo i równe \(\displaystyle{ \tfrac{1}{10}.}\) Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ P(cz|U_{n})=\tfrac{10-n}{10}.}\)
    Korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy: \(\displaystyle{ P(cz)=\sum_{n=1}^{10} P(cz|U_{n})P(U_{n})= \sum_{n=1}^{10} \frac{10-n}{10}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}(9+8+\ldots+1+0)=\frac{45}{100}.}\)

Zablokowany