Obraz okręgu przez inwersję

[ReallyGrid]

Pokazać, że obraz okręgu \(\displaystyle{ |z-1|=1}\) poprzez inwersję \(\displaystyle{ w=\frac{1}{z}}\) zadany jest przez

\(\displaystyle{ w(z)=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\tan\left(\frac{t}{2}\right)}\)

Moje obliczenia są takie do tej pory:

Najpierw sparametryzujmy okrąg: \(\displaystyle{ z(t) = 1 + e^{it}}\)
Następnie

\(\displaystyle{ w(t) = \frac{1}{z(t)} = \frac{1}{1 + e^{it}} = \frac{1}{1 + \cos(t) + i\sin (t)} = \\
= \frac{1}{1 + \cos(t) + i\sin (t)} \cdot \frac{1 + \cos(t) - i\sin (t)}{1 + \cos(t) - i\sin (t)} = \\
= \frac{1 + \cos(t) - i\sin (t)}{\bigl(1 + \cos(t)\bigr)^2 - \bigl(i\sin(t)\bigr)^2} = \\
= \frac{1 + \cos(t) - i\sin (t)}{1 + 2\cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t)} = \\
= \frac{1 + \cos(t) - i\sin (t)}{2 + 2\cos(t)} = \\
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos(t) - i\sin (t)}{1 + 1\cos(t)} =}\)

I teraz byłoby fajnie, gdybym znał jakąś tożsamość trygonometryczną z której wynikałoby, że

\(\displaystyle{ \frac{1 + \cos(t) - i\sin (t)}{1 + 1\cos(t)} = 1 - i \tan\left(\frac{t}{2}\right)}\)

Ale nie znam Pomożecie? Chyba, że wcześniej coś źle robię.

[Premislav]

To poziom szkoły średniej, wyjąwszy to, że pałęta się jakieś tam \(\displaystyle{ i}\).
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos(t)-i\sin(t)}{1+\cos(t)} =1-i \frac{\sin (t)}{1+\cos(t)}}\)
Mamy wzory \(\displaystyle{ \sin(2x)=2\sin (x)\cos (x)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1}\)
- zatem \(\displaystyle{ \sin(t)=2\sin\left( \frac t 2\right) \cos\left( \frac t 2\right)}\) oraz
\(\displaystyle{ 1+\cos(t)=2\cos^2\left(\frac t 2 \right)}\), podstawiasz, wychodzi.

[ReallyGrid]

No pewnie że tak. Ja próbowałem to z innej strony ugryźć i rozpisałem tą równość jako:

\(\displaystyle{ 1+\cos t - i \sin t = 1 + \cos t - i \tan \frac{t}{2} - i \tan\frac{t}{2} \cos t}\)

Po skróceniu co się da:

\(\displaystyle{ \tan \frac{t}{2} = -\frac{i \sin t}{1 + \cos t}}\).

Tylko, że takiego wzorku nigdzie nie mogłem znaleźć Dzięki Premislav.