Estymator rozkładu wykładniczego

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
adam4990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 6 kwie 2017, o 08:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Estymator rozkładu wykładniczego

Post autor: adam4990 » 16 lis 2017, o 20:57

\(\displaystyle{ Y_{1},...,Y_{n}}\) - próbka z rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\) . Ustal estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \beta ( \alpha )=P_{ \alpha }( Y_{1}>t)}\) . Oblicz jego wariancję, obciążenie i ograniczenie Cramera-Rao.

Otrzymałem estymator: \(\displaystyle{ a=exp( \frac{-tn}{ y_{1}+...+y_{n} })}\) , ale w żaden sposób nie umiem ustalić nawet wartości oczekiwanej tego estymatora.

Ktoś pomoże?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Estymator rozkładu wykładniczego

Post autor: Premislav » 18 gru 2017, o 05:27

Gdyby parametr \(\displaystyle{ \alpha}\) oznaczał wartość oczekiwaną, a nie jej odwrotność, to wychodziłyby jakieś w miarę sensowne obliczenia, wtedy zdaje się estymatorem byłoby
\(\displaystyle{ \exp\left( -t \frac{y_1+\ldots+y_n}{n} \right)}\) i z tego wychodzą całkiem nawet sensowne całki (suma zmiennych niezależnych o tym jednakowym rozkładzie wykładniczym będzie miała rozkład Gamma z odpowiednimi parametrami).
Jeśli jednak (jak najwyraźniej przyjąłeś) \(\displaystyle{ \alpha}\) oznaczałoby odwrotność wartości oczekiwanej (jak zazwyczaj w rozkładzie wykładniczym), to dostajemy całkę nie do obliczenia (skoro ja nie umiem policzyć, to znaczy, że nie tylko jest nieelementarna, ale wręcz że nie ma innego sposobu niż przybliżenia numeryczne dla konkretnych wartości – żart).

ODPOWIEDZ