Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
SQ6IYV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 27 paź 2017, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: SQ6IYV » 16 lis 2017, o 19:56

Witam :)

Jak rozwiązać układ równań, na który składają się wzory Viete'a? Napisałem sobie postać iloczynową wielomianu (a z niej z automatu znam rozwiązanie układu) i przekształciłem ją do postaci kanonicznej. Następnie występujące tam współczynniki a, b, c podstawiłem do wzorów Viete'a z zamiarem wyznaczenia z tego układu równań pierwiastków wielomianu. W wyniku kilku prostych operacji dostałem... postać kanoniczną swojego równania wyjściowego :roll: . Dodam, że na początku rozwiązywania układu za jeden z pierwiastków podstawiłem stałą "M" i chciałem rozwiązać to jak równanie z parametrem.

Pozdrawiam i dziękuję za podpowiedzi :)

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2593
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 363 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: Dilectus » 16 lis 2017, o 20:22

Czy chodzi Ci o wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia?

Pokaż, co, i jak liczyłeś.

SQ6IYV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 27 paź 2017, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: SQ6IYV » 16 lis 2017, o 23:36

Wielomian wyjściowy:

\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)(x+1) =x^{3}+x^{2} -4x-4.}\)

Wzory Viete'a:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -1\\x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_3 \cdot x_1 = -4\\x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 4 \end{cases}}\)

Zakładając, że \(\displaystyle{ x_1 = M:}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} M + x_2 + x_3 = -1\\M \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_3 \cdot M = -4\\M \cdot x_2 \cdot x_3 = 4 \end{cases}}\)


Segregując wyrazy:

\(\displaystyle{ x_2 + x_3 = -(M+1)\\M \cdot (x_2 + x_3) + x_2 \cdot x_3 = -4 \\ x_2 \cdot x_3 = \frac{4}{M}}\)

Podstawiając pierwsze i trzecie równanie do drugiego:

\(\displaystyle{ -M \cdot (M+1) + \frac{4}{M} = -4}\)

Obustronnie mnożę przez \(\displaystyle{ M}\):

\(\displaystyle{ -(M^2) \cdot (M+1) +4 = -4 \cdot M}\)

\(\displaystyle{ -M^3 - M^2 + 4 \cdot M + 4 = 0.}\)

Jak pomnożę całość przez \(\displaystyle{ -1,}\) to dostanę równanie wyjściowe. Chyba, że popełniłem błąd myślowy. :roll: :roll: :roll:

Przepraszam za brak klamer przy układach równań, ale nie potrafię ich jeszcze wstawiać... :oops:
Ostatnio zmieniony 16 lis 2017, o 23:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19209
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: a4karo » 17 lis 2017, o 07:18

Ale czemu się dziwisz? W końcu założyłes, że \(\displaystyle{ M}\) jest pierwiastkiem I wyszło co, ze jest pierwiastkiem. Żaden cud

SQ6IYV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 27 paź 2017, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: SQ6IYV » 17 lis 2017, o 13:37

Jak w takim razie zabierać się za rozwiązanie układu równań, w którym występują iloczyny \(\displaystyle{ x_i \cdot x_j}\) i temu podobne?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19209
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: a4karo » 17 lis 2017, o 14:28

Ogólnej metody nie ma. Trzeba ruszyć głową.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2593
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 363 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: Dilectus » 17 lis 2017, o 15:29

Wzory Viete'a są tu niepotrzebne. Wystarczy zauważyć, że jeden z podzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem równania

\(\displaystyle{ x^{3}+x^{2} -4x-4=0}\)

A dalej to już łatwizna.

:)

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: Belf » 17 lis 2017, o 15:34

A co tu zauważać ? Wystarczy po prostu rozłożyć go na czynniki, co zreszą jest już zrobione na wstępie
tego zadania.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2593
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 363 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: Dilectus » 17 lis 2017, o 15:38

A no właśnie! Przecież Autor wątku na wstępie napisał:
Wielomian wyjściowy:

\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)(x+1) =x^{3}+x^{2} -4x-4}\)

SQ6IYV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 27 paź 2017, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: SQ6IYV » 17 lis 2017, o 16:28

Linijka

\(\displaystyle{ (x-2) \cdot (x+2) \cdot (x+1) = x^{3}+x^{2}-4 \cdot x - 4}\)

była potrzebna mi, abym znał rozwiązanie do którego mam dojść. Interesuje mnie przypadek, gdy dostaję wielomian w postaci kanonicznej, podstawiam współczynniki do wzorów Viete'a i rozwiązując stosowny układ równań dostaję informację o pierwiastkach wielomianu. I mam wrażenie, że przy rozwiązywaniu układu równań kręcę się w kółko... :roll:

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Re: Wzory Viete'a dla równania 3 stopnia

Post autor: florek177 » 17 lis 2017, o 20:05

Napisałeś sobie równanie w postaci iloczynowej, z którego od razu masz jego pierwiastki i po rozwiązaniu wyszło to co miało wyjść. Po prostu zamknąłeś pętlę.
Normalnie zaczynasz od drugiej postaci. Wg mnie metoda wyszukania podzielnika i uproszczeniu do równania kwadratowego jest szybsza od wzorów Viete'a.
Proponuję to sprawdzić na prostych przykładach:

\(\displaystyle{ \, 2\cdot x^{3}+ 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x -2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \, x^{3}+ 3 \cdot x^{2} + 3 \cdot x +2 = 0}\)

Zresztą, rób ja chcesz, abyś cel osiągnął.

ODPOWIEDZ