Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

Post autor: ReallyGrid » 16 lis 2017, o 19:45

Mam takie zadanie, którego nie potrafię zrobić:

Wykaż, że tylko trzy liczby zespolone są konieczne dla konkretnej transformacji Möbiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+d}}\).

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

Post autor: PoweredDragon » 16 lis 2017, o 20:10

Znając \(\displaystyle{ M(z)}\) dla trzech liczb, masz już tak na prawdę jednoznacznie wyznaczoną cztery współczynniki. Wystarczy, że podzielisz licznik i mianownik przez a, b, c ALBO d i otrzymasz wzór z trzema współczynnikami, a aby je wyznaczyć potrzebujesz trzech równań

ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

Post autor: ReallyGrid » 16 lis 2017, o 20:39

Jeśli Cię dobrze rozumiem: Mając \(\displaystyle{ M(z_1)}\), \(\displaystyle{ M(z_2)}\) i \(\displaystyle{ M(z_3)}\) jak poniżej:
\(\displaystyle{ M(z_1) = \frac{az_1 + b}{cz_1 + d} \qquad M(z_2) = \frac{az_2 + b}{cz_2 + d} \qquad M(z_3) = \frac{az_3 + b}{cz_3 + d}}\)
To teraz wszystkie trzy równania muszę podzielić przez ten sam czynnik, weźmy \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ M(z_1) = \frac{z_1 + \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}z_1 + \frac{d}{a}} \qquad M(z_2) = \frac{z_2 + \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}z_2 + \frac{d}{a}} \qquad M(z_3) = \frac{z_3 + \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}z_3 + \frac{d}{a}}}\)
I teraz rozwiązuję taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}M(z_1)z_1\frac{c}{a} + M(z_1)\frac{d}{a} -\frac{b}{a} = z_1\\ M(z_2)z_2\frac{c}{a} + M(z_2)\frac{d}{a} -\frac{b}{a} = z_2\\ M(z_3)z_3\frac{c}{a} + M(z_3)\frac{d}{a} -\frac{b}{a} = z_3 \end{cases}}\)

Jeśli tak to ma wyglądać to ok, moimi niewiadomymi są \(\displaystyle{ \alpha = \frac{c}{a}}\), \(\displaystyle{ \beta = \frac{d}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma = \frac{b}{a}}\).
Ale wydaje mi się, że w ten sposób wyliczę jedynie te ilorazy a nie konkretne wartości \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), i \(\displaystyle{ d}\). Chyba, że o to chodzi bo nie bardzo rozumiem to zadanie.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

Post autor: PoweredDragon » 16 lis 2017, o 22:09

Chodzi o to, że potrzebujesz tylko trzech współczynników. Nie musisz nic liczyć, a jedynie pokazać, że można postać funkcji sprowadzić do funkcji o trzech, a nie czterech współczynnikach i że taki układ równań trzech niewiadomych jest rozwiązywalny (a skoro masz trzy równania, to oczywiście jest)

ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Transformacja Möbiusa - nie rozumiem tego zadania

Post autor: ReallyGrid » 16 lis 2017, o 22:19

Ahh, rozumiem, Dzięki. Ale trzeba jeszcze założyć, że punkty \(\displaystyle{ z_1}\), \(\displaystyle{ z_2}\) i \(\displaystyle{ z_3}\) są parami różne Ale wiadomo o co chodzi.

ODPOWIEDZ