Ilość podziałów liczby n

[mantoo]

Proszę o pomoc... Pokaż, że ilość podziałów liczby \(\displaystyle{ n}\), których największym składnikiem jest \(\displaystyle{ k}\), równa jest \(\displaystyle{ \pi (n,k)}\).

[arek1357]

Co to jest:

\(\displaystyle{ \pi(n,k)}\)

[mantoo]

Podziałem liczby \(\displaystyle{ n}\) nazywamy taki zbiór liczb dodatnich całkowitych, którego suma jest równa\(\displaystyle{ n}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \pi (n)}\) liczbę, podziałów liczby \(\displaystyle{ n}\).
Na przykład: \(\displaystyle{ \pi (5) = 7}\), ponieważ:
\(\displaystyle{ 5 = 5
\newline = 4 + 1
\newline = 3 + 2
\newline = 3 + 1 + 1
\newline = 2 + 2 + 1
\newline = 2 + 1 + 1 + 1
\newline = 1 + 1 + 1 + 1 + 1}\)
Podziałem liczby \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k}\) składników nazywamy taki k - elementowy zbiór dodatnich liczb całkowitych, którego suma jest równa \(\displaystyle{ n}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \pi(n,k)}\) liczbę, podziałów liczby \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k}\) składników.
Na przykład:
\(\displaystyle{ \pi(5,1) = 1; \pi(5,2) = 2}\)

[Kaf]

Wskazówka: diagramy Ferrersa

[arek1357]

zwykle się oznacza to\(\displaystyle{ p(n)}\)

I a propo tych diagramów to jest z nich spory pożytek ponieważ:

Wszystkich partycji liczby \(\displaystyle{ n}\) o największym wyrazie mniejszym od \(\displaystyle{ k}\) jest dokładnie tyle ile jest wszystkich partycji liczby \(\displaystyle{ n}\) o długości mniejszej od \(\displaystyle{ k}\).

Czyli partycje i ich sprzężenia...