Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
corvus606
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 26 mar 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Post autor: corvus606 » 16 lis 2017, o 17:27

W ciągu \(\displaystyle{ t=12 s}\) ciało wykonuje \(\displaystyle{ n=15}\) drgań tłumionych. W tym czasie amplituda drgań maleje \(\displaystyle{ m=1,2}\) razy. W chwili początkowej wychylenie było \(\displaystyle{ x_0=15 cm}\), zaś prędkość \(\displaystyle{ v_0=-10 \frac{cm}{s}}\). Obliczyć:
a) amplitudę początkową \(\displaystyle{ A_0}\) i fazę początkową \(\displaystyle{ \alpha}\),
b) amplitudę i wychylenie w chwili czasu \(\displaystyle{ t_1=20 s}\).

Wypisałem podstawowe wzory na drgania tłumione i w sumie stanąłem w miejscu - mam tyle:

\(\displaystyle{ x(t)=x_0 e^{-\beta t} \cos{\omega_t t-\varphi}}\)
\(\displaystyle{ \beta=\frac{b}{2m}}\)

Co powinienem zrobić dalej?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6591
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Post autor: janusz47 » 17 lis 2017, o 22:15

Obliczamy kolejno:

1. Współczynnik tłumienia: \(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{t}}\) jako odwrotność czasu relaksacji.

2. Okres drgań \(\displaystyle{ T = \frac{n}{t},}\)

3. Częstość kołową \(\displaystyle{ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T}}\)

4. Częstość drgań tłumionych \(\displaystyle{ \omega = \sqrt{\omega^2_{0}- \beta^2}.}\)

5. Amplitudę początkową \(\displaystyle{ A_{0}}\) i fazę początkową \(\displaystyle{ \alpha}\) z równań:

6.\(\displaystyle{ x_{0} = A_{0}e^{-\beta\cdot t_{0}}\cos(\omega\cdot t_{0}+\alpha), \ \ v_{0}= x'(0)}\)

7.Amplitudę \(\displaystyle{ A_{1}}\) w chwili \(\displaystyle{ t_{1}.}\)

8. Wychylenie \(\displaystyle{ x(t_{1})}\) w chwili \(\displaystyle{ t_{1}.}\)

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Post autor: SlotaWoj » 17 lis 2017, o 22:55

janusz47 pisze:1. Współczynnik tłumienia: \(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{t}}\) jako odwrotność czasu relaksacji.
W zadaniu nie ma mowy o żadnej relaksacji.

Współczynnik tłumienia: \(\displaystyle{ \beta=\frac{\ln m}{t}}\), gdzie \(\displaystyle{ m=\frac{A(0)}{A(t)}}\) (nie jest to masa).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6591
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Post autor: janusz47 » 18 lis 2017, o 10:33

W czasie \(\displaystyle{ t = \tau = 1, 2s}\) amplituda zmalała \(\displaystyle{ e .}\) razy.

Iloraz \(\displaystyle{ \frac{A_{0}}{A_{0} +\tau}= e.}\)

Czas, po którym amplituda zmalała \(\displaystyle{ e}\) razy nazywamy czasem relaksacji.

\(\displaystyle{ \beta\cdot \tau = 1, \ \ \beta = \frac{1}{\tau}.}\)

W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \ln \frac{A_{0}}{A(t)} =\ln(m) = \beta\cdot T,}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \beta = \frac{\ln(m)}{T}.}\)

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Post autor: SlotaWoj » 18 lis 2017, o 13:05

janusz47 pisze:Iloraz \(\displaystyle{ \frac{A_{0}}{A_{0}+\tau}= e}\)
W mianowniku mamy dodawanie metrów i sekund. Od kiedy tak można?
janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \ln\frac{A_{0}}{A(t)}=\ln(m)=\beta\cdot T}\)
Lewa strona równania jest zmienna (zależy od czasu), a prawa strona jest stała. Dlaczego?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6591
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Drgania tłumione - amplituda poczatkowa

Post autor: janusz47 » 18 lis 2017, o 15:38

Dla dowolnej chwili \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(t)}{A(t + \tau)} = e.}\)

W szczególności dla amplitudy początkowej:

\(\displaystyle{ \frac{A_{0}}{A(0 + \tau)} = e.}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{A(t)}{A(t +n\cdot T)}}\right)= \beta}\cdot n \cdot T.}\)

W szczególności dla chwili początkowej i jednego okresu \(\displaystyle{ (n = 1)}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{A_{0}}{A(0 +T)}}\right) =\ln(m) = \beta \cdot T.}\)

ODPOWIEDZ