Mnożenie macierzy w równaniach macierzowych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Cassandra19x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 23 sie 2016, o 00:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Mnożenie macierzy w równaniach macierzowych

Post autor: Cassandra19x » 16 lis 2017, o 16:56

Hej,
załóżmy, że mam równanie macierzowe postaci:
\(\displaystyle{ AX = A}\)

Teraz po mnożeniu przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) obydwu stron powinnam zapisać:
\(\displaystyle{ X = AA^{-1}}\)

czy może:
\(\displaystyle{ X = A^{-1}A}\)

Od czego to zależy? Jak wiadomo mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc powyższe działania zwrócą różne wyniki, stąd moje wątpliwości.

Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: Mnożenie macierzy w równaniach macierzowych

Post autor: NogaWeza » 16 lis 2017, o 17:22

W tym przypadku to, czy wymnożysz z lewej czy z prawej strony nie ma znaczenia, bo widać, że \(\displaystyle{ X}\) musi być macierzą jednostkową. A swoją drogą, to nie możesz sobie mnożyć nie wiedząc, czy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa.

W ogólności, gdybyśmy mieli \(\displaystyle{ AX = Y}\), to mnożąc z lewej strony mamy \(\displaystyle{ A^{-1} A X = A^{-1} Y}\), a więc \(\displaystyle{ \left( A^{-1} A \right) X = A^{-1} Y}\), czyli \(\displaystyle{ IX = X = A^{-1}Y}\). Mnożąc zaś z prawej: \(\displaystyle{ AXA^{-1} = YA^{-1}}\). Nic więcej z tym nie zrobimy, bo przecież nie możemy sobie po prawej stronie równania zamienić kolejnością macierzy, jak słusznie zauważyłaś mnożenie macierzy nie jest przemienne. Należy zatem zawsze rozróżniać w przypadku macierzy mnożenie lewostronne od prawostronnego.

ODPOWIEDZ