Równanie z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Rozbitek » 16 lis 2017, o 11:12

Treść zadania:
Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na parametr \(\displaystyle{ m}\) (\(\displaystyle{ m \in \RR}\)).Napisz wzór funkcji \(\displaystyle{ y = g \left( m \right)}\), która każdej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania.
Równanie mamy takie: \(\displaystyle{ \left( m-5 \right) x^2 - 4mx + m - 2 = 0}\).

\(\displaystyle{ \Delta = 16m^2 - 4 \left( m-5 \right) \left( m-2 \right)}\)

Wiemy, że są trzy możliwości:
Równanie ma:
\(\displaystyle{ 2\mbox{ rozwiązania} \Leftrightarrow \Delta > 0 \\ 1 \mbox{ rozwiązanie} \Leftrightarrow \Delta = 0 \\ 0 \mbox{ rozwiązań} \Leftrightarrow \Delta < 0}\)


\(\displaystyle{ 16m^2 - 4 \left( m-5 \right) \left( m-2 \right) > 0 \\ 16m^2 - 4 \left( m^2 - 7m + 10 \right) > 0 \\ 16m^2 - 4m^2 + 28m - 40 > 0 \\ 12m^2 + 28m - 40 > 0 \\ 3m^2 + 7m - 10 > 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta_{m} = 49 + 120 = 169 \\ m_1 = - \frac{10}{3} \\ m_2 = 1}\)

Widzę więc, że równanie to ma:
Dwa rozwiązania dla parametrów \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; - \frac{10}{3} \right) \cup \left( 1 ; + \infty \right)}\)
Jedno rozwiązania dla parametrów \(\displaystyle{ m = - \frac{10}{3}}\) i \(\displaystyle{ m = 1}\)
Zero rozwiązań dla parametrów \(\displaystyle{ m \in \left( -\frac{10}{3} ; 1 \right)}\)

\(\displaystyle{ m = \infty , m \in \left( - \infty ; - \frac{10}{3} \right) \cup \left( 1 ; + \infty \right) \\ m = 2, m = - \frac{10}{3} \wedge m = 1 \\ m = \infty , m \in \left( -\frac{10}{3} ; 1 \right)}\)

\(\displaystyle{ g \left( m \right) = \begin{cases} m = \infty, m \in \left( - \infty ; - \frac{10}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{2}, + \infty \right) \wedge m = 5 \\m = 2, m = - \frac{10}{3} \wedge m = 1\\m = \infty, m \in \left( -\frac{10}{3} ; 1 \right) \end{cases}}\)

Dziwnie mi wygląda to \(\displaystyle{ g \left( m \right)}\), nie wiem czy to jest dobrze. Moglibyście sprawdzić?
Ostatnio zmieniony 16 lis 2017, o 15:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Belf » 16 lis 2017, o 11:17

Pomijam to , czy dobrze jest to policzone rachunkowo, to jeszcze zapomniałeś/aś
zbadać, co się dzieje dla m = 5

-- 16 lis 2017, o 11:19 --

Dodatkowo masz źle polczone: \(\displaystyle{ m_2}\)

-- 16 lis 2017, o 11:24 --

Widzę również,że nie bardzo rozumiesz co to jest funkcja g(m).
Ustal, co jest jej dziedziną , a co zbiorem warości i jak to odwzorowanie wygląda.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Rozbitek » 16 lis 2017, o 11:31

Belf pisze:Pomijam to , czy dobrze jest to policzone rachunkowo, to jeszcze zapomniałeś/aś
zbadać, co się dzieje dla \(\displaystyle{ m = 5}\)

-- 16 lis 2017, o 11:19 --

Dodatkowo masz źle polczone: \(\displaystyle{ m_2}\)

-- 16 lis 2017, o 11:24 --

Widzę również,że nie bardzo rozumiesz co to jest funkcja \(\displaystyle{ g \left( m \right)}\).
Ustal, co jest jej dziedziną , a co zbiorem warości i jak to odwzorowanie wygląda.
Dla \(\displaystyle{ m = 5}\), delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania.

\(\displaystyle{ m_2 = 1}\) Już poprawiłem, dziękuję.

Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ g \left( m \right)}\) jest \(\displaystyle{ \RR}\), zbiorem wartości \(\displaystyle{ \{0,1,2\}}\)

Więc będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ g \left( m \right) = \left\{\begin{array}{l} m = 2 , m \in \left( - \infty ; - \frac{10}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{2} ; + \infty \right) \wedge m = 5 \\m = 1, m = - \frac{10}{3} \wedge m = 1\\m = 0 , m \in \left( -\frac{10}{3} ; 1 \right) \end{array}}\)
?
Ostatnio zmieniony 16 lis 2017, o 15:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Belf » 16 lis 2017, o 11:35

Pomyśl jeszcze raz, a najlepiej podstaw: m = 5 , do wyjściowego równania.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Rozbitek » 16 lis 2017, o 11:42

Dla \(\displaystyle{ m = 5, x = \frac{3}{20}}\), czyli ma jedno rozwiązanie?
\(\displaystyle{ g(m) = \left\{\begin{array}{l} m = 2 , m \in [(- \infty ; - \frac{10}{3} ) \cup (\frac{1}{2} ; + \infty )] \setminus \left\{ 5\right\} \\m = 1, m = - \frac{10}{3}, m = 1, m = 5\\m = 0 , m \in (-\frac{10}{3} ; 1)\end{array}}\)

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Belf » 16 lis 2017, o 11:48

Teraz jest dobrze, tylko musisz poprawić zapis funkcji.
Dziedzinę rozbić na poszczególne przedziały, a za klamrą nie wpisujesz: \(\displaystyle{ m = 2, m = 1 , m = 0}\) ,
bo przecież to są argumenty, a nie wartości funkcji.Wpisujesz tylko cyfry, \(\displaystyle{ 2,1,0}\) i obok dla jakich przedziałów.

( nadal masz jeszcze \(\displaystyle{ \frac12}\)) w drugim nawiasie.
Ostatnio zmieniony 16 lis 2017, o 15:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Rozbitek » 16 lis 2017, o 11:51

\(\displaystyle{ g(m) = \left\{\begin{array}{l} 2 , m \in [(- \infty ; - \frac{10}{3} ) \cup (1 ; + \infty )] \setminus \left\{ 5\right\} \\1, m = - \frac{10}{3}, m = 1, m = 5\\0 , m \in (-\frac{10}{3} ; 1)\end{array}}\)
W ten sposób?

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Belf » 16 lis 2017, o 11:55

Nie ... przedział :\(\displaystyle{ (1;+\infty)}\) podziel na dwa przedziały.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Rozbitek » 16 lis 2017, o 11:58

\(\displaystyle{ g \left( m \right) = \begin{cases} 2 &\ m \in \left( - \infty ; - \frac{10}{3} \right) \cup \left( 1 ; 5 \right) \cup \left( 5 ; + \infty \right) \\1&\ m = - \frac{10}{3}, m = 1, m = 5\\0 &\ m \in \left( -\frac{10}{3} ; 1 \right) \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 16 lis 2017, o 15:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Równanie z parametrem

Post autor: Belf » 16 lis 2017, o 12:08

Teraz jest dobrze.Możesz jeszcze "dopielęgnować" ten zapis, a mianowicie drugą linijkę zapisać
w postaci: \(\displaystyle{ m \in \left\{a;b;c \right\}}\) , gdzie a,b,c to te trzy wartości

ODPOWIEDZ