A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
aolo23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 5 sty 2016, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 118 razy
Pomógł: 2 razy

A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Post autor: aolo23 » 15 lis 2017, o 21:24

\(\displaystyle{ 1+(1+i)+(1+i)^{2}+...+(1+i) ^{10}}\)
Tyle zrobiłem że na sume sobie zamieniłem
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{10}(1+i)^{n}}\)
Jakieś moralne wsparcie w rozwiązaniu zadania
Bo sposób na niedorozwiniętego tzn 10 razy wszystko dodawać chyba nie jest najlepszym

Szeregiem geometrycznym bym tego nie nazwał bo \(\displaystyle{ |q| <1}\) nie zgadza się
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 21:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Post autor: Premislav » 15 lis 2017, o 21:28

To nie jest szereg sensu stricto, ale mniejsza z tym.
Wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a+aq+\ldots+aq^{n-1}=a \cdot \frac{q^n-1}{q-1}}\) działa także dla każdego \(\displaystyle{ q \in \CC}\), z wyjątkiem \(\displaystyle{ q=1}\) oczywiście.

aolo23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 5 sty 2016, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 118 razy
Pomógł: 2 razy

A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Post autor: aolo23 » 15 lis 2017, o 21:30

Ale ze mnie gapa rzeczywiście zgadzam się w 100% z Tobą, a już chciałem się bawić postacią trygonometryczną

ale zaraz \(\displaystyle{ q}\) pezentuje się w postaci (\(\displaystyle{ 1-i)}\) w takim razie?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Post autor: Premislav » 15 lis 2017, o 21:54

No nie, \(\displaystyle{ (1+i)}\). \(\displaystyle{ q}\) jak zwykle znajdujesz, licząc iloraz dwóch kolejnych wyrazów (np. drugiego i pierwszego).

aolo23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 5 sty 2016, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 118 razy
Pomógł: 2 razy

Re: A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Post autor: aolo23 » 15 lis 2017, o 22:02

No tak wiem wiem wcisnąłem - zamiast + przez przypadek
Ale czy w liczbach zespolonych warunek \(\displaystyle{ |q|<1}\) nie musi istnieć?

i następne pytanie

\(\displaystyle{ S= (1+i) \frac{(1+i)^{10}}{i} =(-i \cdot (1+i)^{10}-i)(i+1)}\)
Dobrze prowadzę rachunki? Bo w tym miejscu przechodziłbym na trygonometryczną opcję bo sam nie wiedziałbym co robić zbytnio

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: A to teraz z innej beczki- Szereg liczb zespolonych

Post autor: Premislav » 15 lis 2017, o 22:23

Ale czy w liczbach zespolonych warunek \(\displaystyle{ |q|<1}\) nie musi istnieć?
Jeżeli chcesz sumować (nieskończony - w sensie o nieskończenie wielu niezerowych wyrazach) szereg geometryczny, to owszem. Dla sumy skończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego nie potrzeba żadnych założeń prócz tego, by ciąg ten nie był stały (wspomniane \(\displaystyle{ q=1}\)).

Mnie wyszło po prostu
\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{11}-1}{i}}\), no i zamiast przechodzić na trygonometryczną, można zobaczyć, co to jest \(\displaystyle{ (1+i)^2}\) (coś tam się trochę uprości), a potem zapisać
\(\displaystyle{ (1+i)^{11}=(1+i)\cdot ((1+i)^2)^5}\) itd.
Aczkolwiek korzyści ze stosowania postaci trygonometrycznej są takie, że jest to ćwiczenie metody ogólniejszej, która nie zawiedzie nas przy szerszej klasie zadań (dużo jest zadań, które algebraicznie zabijają rachunkami, a stają się łatwe dzięki użyciu postaci trygonometrycznej lub wykładniczej).

ODPOWIEDZ