Wyznaczyć przedział zbieżności

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
lukaszek1234567890
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 15 lis 2017, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 3 razy

Wyznaczyć przedział zbieżności

Post autor: lukaszek1234567890 » 15 lis 2017, o 21:05

Mam problem z rozwiązaniem zadania.
Trzeba wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1+x^{2n}}}\)

z góry dzięki za pomoc

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Wyznaczyć przedział zbieżności

Post autor: Premislav » 15 lis 2017, o 21:17

Dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) możemy oszacować
\(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le |x|^n}\)
a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } |x|^n}\) jest dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) zbieżnym szeregiem geometrycznym,
natomiast dla \(\displaystyle{ |x|>1}\) możemy zapisać
\(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le \frac{|x|^n}{x^{2n}} =|x|^{-n}}\) i podobnie jak wyżej (zakładam, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\)).
Jeszcze trzeba rozważyć \(\displaystyle{ |x|=1}\), wtedy nie ma zbieżności.
To załatwia kwestię zbieżności punktowej (jest ona na \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ -1,1\right\}}\)), bo rozumiem, że o taką chodzi.

ODPOWIEDZ