Badanie zbieżności szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
crative
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 16 razy

Badanie zbieżności szeregu

Post autor: crative » 15 lis 2017, o 20:13

Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność podanego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{n ^{n} }{3 ^{n}n! }}\)
Zacząłem tak: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{3 ^{n+1}(n+1)! } \cdot \frac{3 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n}(n+1)3 ^{n} n! }{3 ^{n} 3 (n+1) n! }= \lim_{ x\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)
W tym miejscu się zatrzymałem i nie mam pojęcia jak ruszyć dalej, ktoś mógłby wyjaśnić jak obliczyć taką granicę
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 20:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27288
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Badanie zbieżności szeregu

Post autor: Jan Kraszewski » 15 lis 2017, o 20:21

Z tą granicą to ciężko, ale gdybyś zmienił na

\(\displaystyle{ \lim_{ \red n\black\to \infty} \frac{(n+1) ^{n} }{3}}\)

to będzie łatwiej. Zauważ, że prawdziwe jest oszacowanie

\(\displaystyle{ \frac{(n+1) ^{n} }{3}\ge \frac{n+1 }{3},}\)

a granicę ciągu po prawej łatwo policzyć.

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Badanie zbieżności szeregu

Post autor: Premislav » 15 lis 2017, o 20:23

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n+1} }{3 ^{n+1}(n+1)! } \cdot \frac{3 ^{n}n! }{n ^{n} }= \lim_{ x\to \infty } \frac{(n+1) ^{n}(n+1)3 ^{n} n! }{3 ^{n} 3 (n+1) n! }}\)
A co zrobiłeś z \(\displaystyle{ n^n}\) w mianowniku?
Powinno wyjść coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^n}{3n^n}= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3}\cdot \left(1+\frac1n\right)^n}\)
no i należy skorzystać z: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac1n\right)^n=e<3}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27288
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Badanie zbieżności szeregu

Post autor: Jan Kraszewski » 15 lis 2017, o 20:33

Premislav, dzięki za czujność, nie chciało mi się czytać przekształceń...

JK

ODPOWIEDZ